第一章 有理數(shù)
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
本章的知識要點(diǎn)主要包括有理數(shù)的意義和有理數(shù)的運(yùn)算兩部分內(nèi)容，其課標(biāo)要求是： 理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大��；借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)和絕對值；理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算；理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能靈活使用運(yùn)算律簡化運(yùn)算；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單的問題；會用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，并能按要求取近似數(shù)．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
本章的重點(diǎn)是：有理數(shù)的意義及運(yùn)算；
本章的難點(diǎn)是：負(fù)數(shù)概念的建立以及對有理數(shù)運(yùn)算法則的理解．
學(xué)好本章的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則正確進(jìn)行運(yùn)算，并且能夠掌握好有理數(shù)的運(yùn)算順序及符號的確定．
小結(jié)3 本章學(xué)法點(diǎn)津
1．學(xué)習(xí)本章知識要注重從算術(shù)到代數(shù)的過渡，要克服學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)時的思維局限性，考慮問題時不能忽略負(fù)數(shù)的可能性．
2．注重學(xué)習(xí)方法的更新和能力的提升．學(xué)習(xí)中要多觀察思考、討論交流、探究反思、歸納總結(jié)，從而提升自己的思維能力．
3．注重數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．掌握數(shù)形結(jié)合、分類、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要保障．
知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
重點(diǎn)題型總結(jié)及應(yīng)用
題型一 絕對值
理解絕對值的意義及性質(zhì)是難點(diǎn)，由于a表示的是表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因此a≥0．可運(yùn)用a的非負(fù)性進(jìn)行求解或判斷某些字母的取值．
例1 如果a與3互為相反數(shù)，那么a +2等于( )
A．5 B．1 C．-1 D．-5
解析：a與3互為相反數(shù)，則a＝-3，所以a+2＝-3+2＝-1＝1．
答案：B
例2 若(a-1)2+b+2＝0，則a+ b＝ .
解析：由于(a-1)2≥0，b+2≥0，又(a-1)2與b+2互為相反數(shù)，因此 (a-1)2＝0且b+2＝0，則a＝1，b＝-2，所以a +b＝-1．
答案：-1
規(guī)律
若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個數(shù)分別為0．
題型二 有理數(shù)的運(yùn)算
有理數(shù)的運(yùn)算包括加減法、乘除法及乘方，是初中數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)．要熟記法則，靈活運(yùn)算，進(jìn)行混合運(yùn)算時，還要注意運(yùn)算順序及運(yùn)算律的應(yīng)用．
例3 (-1)2 011的相反數(shù)是( )
A．1 B．-1 C．2 011 D．-2 011
解析：由于指數(shù)2 011為奇數(shù)，所以(-1)2 011＝-1，其相反數(shù)為1．
答案：A
例4 計算：(1) ；
(2) ．
解：(1)
＝4-9×
＝4-4＝0．
(2)
＝
＝
＝
題型三 運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算過程
運(yùn)用加法的交換律、結(jié)合律，把某些具有相同屬性的數(shù)(如正數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)中的分母具有倍數(shù)關(guān)系、相反數(shù)等)分別結(jié)合在一起相加，可以簡化運(yùn)算過程．
例5 計算下列各題．
(1)21-49．5+10．2-2-3．5+19；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
分析：混合運(yùn)算，應(yīng)按法則進(jìn)行，同時注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算過程．
解：(1)原式＝[(21+19)+10．2]+[(-49．5-3．5)-2]＝50．2-55＝-4．8；
(2)原式 ；
；
(3)原式
；
(4)原式＝
＝
點(diǎn)撥
(1)正、負(fù)數(shù)分別結(jié)合相加；(2)分?jǐn)?shù)中，同分母或分母有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)結(jié)合相加；(3)除法轉(zhuǎn)化為乘法，正向應(yīng)用乘法分配律；(4)逆向應(yīng)用分配律a(b+c)＝ab+ac，即ab+ac＝a (b+c)．
題型四 利用特殊規(guī)律解有關(guān)分?jǐn)?shù)的計算題
根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活將算式變形，對不同算式采取運(yùn)算順序重新組合、因數(shù)分解、裂項等不同的方法，達(dá)到優(yōu)化解題過程、簡化計算、解決問題的目的．
例6 計算下列各題．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) .
分析：(1)帶分?jǐn)?shù)相加，可將帶分?jǐn)?shù)中整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分拆開分別相加．
(2)本題若按常規(guī)計算方法比較麻煩，但若用運(yùn)算律可簡化運(yùn)算．
(3)由于
， ， ， ， ， ，所以將原算式變形裂項后，再進(jìn)行計算．
(4)算式中，后一個分?jǐn)?shù)的分母是前一個分?jǐn)?shù)分母的2倍，可在算式中加上最后一個分?jǐn)?shù) ，再減去 ，加上的 與前一個分?jǐn)?shù)運(yùn)算，所得的和再與前一個分?jǐn)?shù)運(yùn)算，依次向前進(jìn)行，最終求得運(yùn)算結(jié)果．
解：(1)原式＝-5-
；
(2)
.
(3)原式
(4)原式＝
…
點(diǎn)撥
利用規(guī)律特點(diǎn)，靈活解分?jǐn)?shù)計算題，需要認(rèn)真觀察，注意經(jīng)常訓(xùn)練，提高思維的靈活性．
題型五 有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用
用正負(fù)數(shù)可以表示相反意義的量，有理數(shù)的運(yùn)算在生活中的應(yīng)用十分廣泛，其中，有理數(shù)的加法、減法及乘法運(yùn)用較多．做題時，要認(rèn)真分析，列出算式，并準(zhǔn)確計算．
例7 有8箱橘子，以每箱15千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，現(xiàn)記錄如下(單位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，則這8箱橘子的總重量是多少?
分析：本題運(yùn)用有理數(shù)的加法、乘法解決問題．先求出總增減量，再求出8箱橘子的總標(biāo)準(zhǔn)重量，兩者之和便為這8箱橘子的實際總重量．
解析：1．2+(-0．8)+2．3+1．7+(-1．5)+(-2．7)+2+(-0．2)
＝1．2-0．8+2．3+1．7-1．5-2．7+2-0．2
＝(2．3+1．7+2)+(-0．8-2．7-1．5)+(1．2-0．2)
＝6-5+1＝2．
則15×8+2＝122(千克)．
答案：這8箱橘子的總重量是122千克．
例8 一貨車為一家摩托車配件批發(fā)部送貨，先向南走了8千米，到達(dá)“華能”修理部，又向北走了3．5千米，到達(dá)“捷達(dá)”修理部，繼續(xù)向北走了7．5千米，到達(dá)“志遠(yuǎn)”修理部，最后又回到批發(fā)部．
(1)以批發(fā)部為原點(diǎn)，以向南方向為正方向，用1個單位長度表示1千米，你能夠在數(shù)軸上表示出“華能”“捷達(dá)”“志遠(yuǎn)”三家修理部的位置嗎?
(2)“志遠(yuǎn)”修理部距“捷達(dá)”修理部多遠(yuǎn)?
(3)貨車一共行駛了多少千米?
解：(1)能．如圖1-6-1所示．
(2)由數(shù)軸可知“志遠(yuǎn)”修理部距“捷達(dá)”修理部4．5-(-3)＝4．5+3＝7．5(千米)．
(3)貨車共行駛了8+-3．5+-7．5+3＝8+3．5+7．5+3＝22(千米)．
題型六 探索數(shù)字規(guī)律
找數(shù)字規(guī)律的題目成為近幾年中考的熱點(diǎn)問題，這類題目靈活多變．解題時要認(rèn)真觀察、分析思考，找出規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題．
例9 某種細(xì)菌在繁殖過程中，每半小時分裂一次，由一個分裂成兩個，2．5小時后，這種細(xì)菌可分裂為( )
A．8個 B．16個 C．32個 D. 64個
解析：本題數(shù)字的規(guī)律是1→2→4→8…，每半小時細(xì)菌個數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，所以經(jīng)過2．5小時，細(xì)菌個數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?5倍，即32個．
答案：C
例10 觀察圖1-6-2，尋找規(guī)律，在“?”處應(yīng)填上的數(shù)字是( )
A．128 B．136
C．162 D．188
解析：觀察圖個數(shù)字特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)：8＝4+2+2；14＝8+4+2；
26＝14+8+4；…．所以“?”＝88+48+26＝162．
答案：C
思想方法歸納
本章中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法主要有：
1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想：在本章中，自始至終利用數(shù)軸來定義或描述有理數(shù)的概念和運(yùn)算，數(shù)軸成為理解有理數(shù)及其運(yùn)算的重要工具．這種把數(shù)與形(圖形或數(shù)軸)結(jié)合起來進(jìn)行研究的思想方法，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法．
2．分類討論思想：a與-a哪個大呢? a的絕對值等于什么?在本章中，我們都是通過分類討論解決問題，分類討論可以把一個復(fù)雜的問題分成若干個較簡單的問題來處理，這是數(shù)學(xué)中處理問題的一種重要思想方法．不重復(fù)、不遺漏是對分類討論提出的基本要求．例如，我們常把有理數(shù)分成正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零三類，如果遺漏了零，只考慮正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩種情況，就會犯錯誤．
3．轉(zhuǎn)化思想：有理數(shù)的加法是通過符號法則轉(zhuǎn)化為絕對值(小學(xué)所學(xué)的數(shù))的加減法進(jìn)行的；有理數(shù)的減法是通過轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行的；有理數(shù)的除法是通過轉(zhuǎn)化為乘法，或者說有理數(shù)的乘除法是通過符號法則轉(zhuǎn)化為絕對值的乘除法進(jìn)行的．
1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的重要工具，涉及含字母或絕對值符號的問題，借助數(shù)軸往往有利于問題的迅速解決．
例1 a＞b，a＞0，b＜O，把a(bǔ)、b、-a、-b按由小到大的順序排列．
分析：將a、b、-a、-b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置找出來，就可以比較大小了．
解：由a＞0，b＜0可知，a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)，a、b所對應(yīng)的點(diǎn)分別在數(shù)軸上原點(diǎn)的右邊和左邊.
由于a＞b，從絕對值的幾何意義可知，表示數(shù)a的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離比表示數(shù)b的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離遠(yuǎn)，而互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等，即a＝-a，b＝-b，于是a、b、-a、-b在數(shù)軸上的位置如圖1-6-3所示．
故由小到大的順序排列為-a＜b＜-b＜a．
提示
比較數(shù)的大小，可在數(shù)軸上把這些對應(yīng)點(diǎn)表示出來，按從左到右的順序確定后，就能寫出這些數(shù)的大小關(guān)系．從本例看，我們還可以進(jìn)一步得到-a＜b＜0＜-b＜a．
例2 有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖l-6-4所示，則必有( )
A．a(chǎn)+ b＞0 B．a(chǎn)- b＜o(jì) C．a(chǎn) b＞0 D. ＜0
解析：由數(shù)軸可知0＜a＜1，b＜-l＜0且b＞a，因此有a+b＜0 a-b＞0，ab＜0， ＜0．故選D．
答案：D
點(diǎn)撥
本題要注意讀懂圖形(數(shù)軸)，掌握數(shù)軸上點(diǎn)的性質(zhì)，還要注意有理數(shù)的四則運(yùn)算法則．
2．分類討論思想
例3 比較2 a與-2 a的大小．
分析：由于a可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)和0，所以應(yīng)分a＞0，a＜0，a＝0三種情況討論．
解：當(dāng)a＞0時，2 a＞-2 a；當(dāng)a＜0時，2 a＜-2 a；當(dāng)a＝0時，2 a＝-2 a．
規(guī)律
解此類題時用分類討論的思想方法來完成．
3．轉(zhuǎn)化思想
例4 計算：l3+23+33+43+…+993+1003的值．
分析：直接求解，當(dāng)然不行，必須探索規(guī)律，將運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
解：∵l3＝1，13+23＝9＝32＝(1+2)2，13+23+33＝36＝62＝(1+2+3)2， 13+23+33+43＝100＝(1+2+3+4)2，…，
由此可知13+23+33+43+…+993+1003＝(1+2+3+4+…+99+100)2
＝ ＝5 0502＝25 502 500．
點(diǎn)撥
利用轉(zhuǎn)化思想可將“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化為“簡單問題”，把“陌生”問題轉(zhuǎn)化為“熟悉”的知識解決．本題中把“立方”運(yùn)算轉(zhuǎn)化為“平方”運(yùn)算，把“求和”運(yùn)算轉(zhuǎn)化為“乘方”的運(yùn)算．
4．用“賦值法”解題
在做選擇題和填空題時，問題的結(jié)論如果運(yùn)用法則、定義等推導(dǎo)，有些題容易，而有些題很復(fù)雜，對于那些推導(dǎo)過程比較復(fù)雜的題目可采取“賦值法”，這樣就能又快又準(zhǔn)地得出結(jié)論．
例5 m-n的相反數(shù)是( )
A．-( m + n) B．m+ n C．m- n D．-( m - n)
解析：可設(shè)m＝2，n＝1，則m - n＝1．又-( m + n)＝-3，m+ n＝3，m- n＝1，-( m- n)＝-1．故選D．
答案：D
點(diǎn)撥
賦值時取值要符合題意，但又不能特殊，本題中m，n不能取0，得出結(jié)論后再用其他值試一試，如：m＝3，n＝-2等．
例6 如果a＞0，b＜0，a＞ b，那么a+ b 0，a- b 0．(填“＞”或“＜”)
解析：由前提條件設(shè)a＝3，b＝-1，則a+b＝2，a-b＝4．
答案：＞ ＞
例7 若 中的x，y都擴(kuò)大到原來的5倍，則 的值( )
A．縮小， B．不變 C. 擴(kuò)大到原來的5倍 D．縮小到原來的
解析：取x=3，y＝2， ，5x＝15，5 y＝10， ＝5．
答案：B
點(diǎn)撥
(1)“賦值法”只能在客觀題(填空題、選擇題)上并且用其他方法不易解出時使用，一般不提倡使用，但可以作為檢驗結(jié)論是否正確的方法。
(2)賦值時要符合題設(shè)的前提條件，所賦的值不能特殊，并且要具有代表性．
(3)在有些問題中，賦值一定要考慮全面，避免漏解、錯解．
中考熱點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)1 相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的概念
考點(diǎn)突破：此類題在中考中的考查為基礎(chǔ)性題目，一般為選擇題或填空題．解決這類問題要掌握相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值概念的內(nèi)涵和區(qū)別．
例1 （2011陜西，1，3分） 的相反數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：倒數(shù)。
專題：計算題。
分析：根據(jù)倒數(shù)的意義，兩個數(shù)的積為1，則兩個數(shù)互為倒數(shù)，因此求一個數(shù)的倒數(shù)即用1除以這個數(shù)．
解答：解： 的倒數(shù)為， 1÷（ ）= ，
故選：A．
點(diǎn)評：此題考查的是倒數(shù)，關(guān)鍵是由倒數(shù)的意義，用1除以這個數(shù)即是．
(2010?江蘇蘇州中考) 的倒數(shù)是( )
A． B． C．- D．-
解析：根據(jù)倒數(shù)的概念，可知乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，所以 的倒數(shù)是 ．
答案：B
例2 （2011四川眉山，1，3分）?2的相反數(shù)是（ ）
A．2B．?2 C． D．-
考點(diǎn)：相反數(shù)。
專題：計算題。
分析：根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)就是相反數(shù)，進(jìn)行判斷．
解答：解：根據(jù)相反數(shù)的定義，?2的相反數(shù)是2．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了相反數(shù)的定義．應(yīng)該從相反數(shù)的符號特點(diǎn)及在數(shù)軸上的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．
（2011河北，15，3分）若x－3＋y＋2＝0，則x＋y的值為 �。�
考點(diǎn)：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值。
專題：計算題。
分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求出x．y的值，然后將x，y再代入計算．
解答：解：∵x－3＋y＋2＝0，
∴x－3＝0，y＋2＝0，
∴x＝3，y＝－2，
∴則x＋y的值為：3－2＝1，
故答案為：1．
點(diǎn)評：此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，根據(jù)題意得出x，y的值是解決問題的關(guān)鍵．
（2011廣西來賓，13，3分）-2011的相反數(shù)是 ．
考點(diǎn)：相反數(shù)。
分析：根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，改變符號即可．
解答：解：∵?2011的符號是負(fù)號，
∴?2011的相反數(shù)是2011．
故答案為：2011．
點(diǎn)評：本題考查了相反數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題，比較簡單．
（2011湖南常德，1，3分）
考點(diǎn)：絕對值。
分析：根據(jù)絕對值的定義；數(shù)軸上一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)絕對值解答即可．
解答：解：?2=2，
故答案為2．
點(diǎn)評：本題考查了絕對值的定義，解答時要熟記絕對值只能為非負(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
(2010?內(nèi)蒙古鄂爾多斯中考)如果a與1互為相反數(shù)，則a等于( )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
解析：由a與1互為相反數(shù)可知，a＝-1，所以a＝-1＝1． 答案：C
考點(diǎn)2 有理數(shù)的運(yùn)算
考點(diǎn)突破：有理數(shù)的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是歷年中考的必考內(nèi)容．對有理數(shù)運(yùn)算的考查往往融合在實數(shù)運(yùn)算、整式運(yùn)算之中，單獨(dú)出現(xiàn)的題型不多，屬中、低檔難度．做有理數(shù)的計算題時，要牢記運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．
例3 （2011江蘇蘇州，1，3分） 的結(jié)果是
A．－4 B．－1 C． D．
考點(diǎn)：有理數(shù)的乘法．
專題：計算題．
分析：根據(jù)有理數(shù)乘法法則：異號得負(fù)，并把絕對值相乘來計算．
解答：解：2×（- ）=-（2× ）=-1．
故選B．
點(diǎn)評：考查了有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．
（2011?臺灣2,4分）計算73+（?4）3之值為何（ ）
A、9B、27 C、279D、407
考點(diǎn)：有理數(shù)的乘方。
專題：計算題。
分析：先根據(jù)有理數(shù)的乘方計算出各數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)加法的法則進(jìn)行計算即可．
解答：解：原式=343?64
=279．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查的是有理數(shù)的乘方，熟知有理數(shù)乘方的法則是解答此題的關(guān)鍵．
（2011?臺灣14，4分）計算 之值為何（ �。�
A、?1B、? C、? D、?
考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算。
專題：計算題。
分析：根據(jù)運(yùn)算順序，先算乘法運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的異號相乘的法則可知，兩數(shù)相乘，異號的負(fù)，并把絕對值相乘，然后找出各分母的最小公倍數(shù)進(jìn)行通分，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算法則即可算出原式的值．
解答：解：原式= + +（?3），
=? ．
故選B．
點(diǎn)評：此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時應(yīng)注意運(yùn)算順序．
（2011臺灣，2，4分）計算(－3)3＋52－(－2)2之值為何（ �。�
A．2B．5 C．－3D．－6
考點(diǎn)：有理數(shù)的乘方。
專題：計算題。
分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算順序，先算乘方，再算加減．
解答：解：(－3)3＋52－(－2)2＝－27＋25－4＝－6，故選D．
點(diǎn)評：有理數(shù)乘方的順序以及法則，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．
（2011臺灣，11，4分）計算 之值為何（ �。�
A．－1.1B．－1.8 C．－3.2D．－3.9
考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算。
專題：計算題。
分析：遇到乘除加減混合運(yùn)算，應(yīng)先算乘除再算加減．所以這道題應(yīng)先把－1.6和2.5變成分?jǐn)?shù)，然后把除法變成乘法計算后，再算減法，算減法時根據(jù)減法法則減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)把其變成加法，最后利用同號兩數(shù)相加的加法法則計算即可得出值．
解答：解：原式＝－ － × ，
＝－2.5－0.7，
＝（－2.5）＋（－0.7），
＝－3.2．
故選C．
點(diǎn)評：此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．做題時注意運(yùn)算順序．
（2011重慶江津區(qū)，1，4分）2?3的值等于（ �。�
A、1B、?5 C、5D、?1
考點(diǎn)：有理數(shù)的減法。
分析：根據(jù)有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．
解答：解：2?3＝2+（?3）＝?（3?2）＝?1．故選D．
點(diǎn)評：此題主要考查了有理數(shù)的減法，比較簡單，是一個基礎(chǔ)的題目．
(2010?杭州中考)計算(-1)2+(-1)3＝( )
A．-2 B．-1 C．0 D．2
解析：(-1)2+(-1)3＝1+(-1)＝0． 答案：C
例4 (2010?河南中考)計算-1+(-2)2＝ .
解析：-1+(-2)2＝l+4＝5． 答案：5
考點(diǎn)3 數(shù)軸
考點(diǎn)突破：在中考中，對數(shù)軸的考查常與有理數(shù)的比較及運(yùn)算結(jié)合在一起，是近幾年中考題中的熱點(diǎn)．解決數(shù)軸的有關(guān)問題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
例5 （2011浙江省，1，3分）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)可能是（ ）
A. 1.5 B.－1.5 C.－2.6 D. 2.6
【答案】C
（2011四川樂山13，3分）數(shù)軸上點(diǎn)A、B的位置如圖（7）所示，若點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)為
【答案】－5
(2010?廣東深圳中考改編)如圖1-6-5所示，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對應(yīng)有理數(shù)a、b，則下列結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)-b＞0 D．a(chǎn)-b＞0
解析：由數(shù)軸知a＞0，b＜O，且a＜b，所以a+b＜O，ab＜O，a-b＞0，a-b＜0． 答案：C
考點(diǎn)4 科學(xué)記數(shù)法
考點(diǎn)突破：科學(xué)記數(shù)法是中考中的高頻考點(diǎn)，屬中考必考內(nèi)容．把一個大于10的數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法，要寫成a×10 n的形式，其中1≤ a ＜10， n為正整數(shù)．
例6 （2011南昌，2，3分）根據(jù)2010年第六次全國人口普查主要數(shù)據(jù)公報，江西省常住人口約為4456萬人．這個數(shù)據(jù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A.4.456×107人B.4.456×106人 C.4456×104人 D.4.456×103人
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)。
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
解答：解：將4456萬用科學(xué)記數(shù)法表示為4456萬=4.456×107．故選A．
點(diǎn)評：此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
（2011山西，4，2分）2011年第一季度，我省固定資產(chǎn)投資完成475．6億元，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法
專題：有理數(shù)
分析：475．6億＝475 6000 0000，用科學(xué)記數(shù)法表示為4.75 6×1010．
解答：C
點(diǎn)評：用科學(xué)記數(shù)法表示就是將一個數(shù)寫成 的形式．其中0＜ ＜10， n為整數(shù)．當(dāng) ＜1時， n＝零的個數(shù)； 當(dāng)1＜ 時， n＝整數(shù)位數(shù)－1．用科學(xué)記數(shù)法表示的關(guān)鍵是兩個確定， 一是a， 二是n．
（2011陜西，3，3分）我國第六次人口普查顯示，全國人口為1370536875人，將這個總?cè)丝跀?shù)（保留三個有效數(shù)字）用科學(xué)計數(shù)法表示為（ ）
A、1.37×109B、1.37×107 C、1.37×108D、1.37×1010
考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字。
分析：較大的數(shù)保留有效數(shù)字需要用科學(xué)記數(shù)法來表示．用科學(xué)記數(shù)法保留有效數(shù)字，要在標(biāo)準(zhǔn)形式a×10n中a的部分保留，從左邊第一個不為0的數(shù)字?jǐn)?shù)起，需要保留幾位就數(shù)幾位，然后根據(jù)四舍五入的原理進(jìn)行取舍．
解答：解：1370536875=1.370536875×109≈1.37×109，
故選：A．
點(diǎn)評：此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，以及用科學(xué)記數(shù)法表示的有效數(shù)字的確定方法．
（2011廣東汕頭，2,3分）據(jù)中新社北京2011年l2月8日電2011年中國糧食總產(chǎn)量達(dá)到546 400 000噸，用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． 噸B． 噸 C． 噸 D． 噸
【答案】B
（2011浙江紹興，2，3分）明天數(shù)學(xué)課要學(xué)“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中輸入“勾股定理”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為12 500 000，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
(2010?廣州中考)“激情盛會，和諧亞洲”第16屆亞運(yùn)會將于2010年11月在廣州舉行．廣州亞運(yùn)城的建筑面積約是358 000平方米，將358 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
解析：358 000＝3．58×105． 答案：3．58×105
綜合驗收評估測試題
一、選擇題
1.有理數(shù)中( )
A．有最大的負(fù)數(shù) B．有最小的整數(shù)
C．有絕對值最小的數(shù) D．不是正有理數(shù)就是負(fù)有理數(shù)
2. 若a＜b＜O，則下列各式中正確的是( )
A． ＜ B．a(chǎn)b＜l C. ＜1 D. ＞1
3. 已知a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，則a，b，
c三數(shù)的和為( )
A．1 B．-l C．0 D．不存在
4. -1+2-3+4-5+6-…-99+100的值等于( )
A．5 050 B．-5 050 C．50 D．-50
5. 數(shù)軸上到表示-2的點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)為( )
A．1 B．-5 C+5 D．1或-5
6. 當(dāng)a＜3時，a-3-(3-a)的值為( )
A．6-2a B．0 C．2a-6 D．-2a
7. 下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是( )
A．3與 B．(-2)2與4 C.-25與(-5)2 D．7與-7
8. 關(guān)于近似值0．010 50的有效數(shù)字的個數(shù)和精確度，下列說法正確的是( )
A．五個有效數(shù)字，精確到十萬分位
B．四個有效數(shù)字，精確到十萬分位
C. 三個有效數(shù)字，精確到萬分位
D．兩個有效數(shù)字，精確到萬分位
9. 據(jù)《中國經(jīng)濟(jì)周刊》報道，上海世博會第四輪環(huán)�；顒油顿Y總金額高達(dá)820億元，其中820億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A．0．82×1011 B．8．2×1010 C．8．2×109 D．82×108
10. a和- a的積一定是( )
A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)
二、填空題
11. 某糧店出售的三種品牌的大米袋上，分別標(biāo)示質(zhì)量為(25±0．1)kg，(25±0．2)kg，
(25±0．3)kg的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差 kg．
12. 有理數(shù)-3．7，2，2 ，- ，0，0．02中，屬于正數(shù)的有 ；屬于負(fù)數(shù)的有 ．
13. 若a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，則(ab)4-3(c+d)3＝ ．
三、解答題
14. 已知x+3＝0，y+5+4的值為4，z對應(yīng)的點(diǎn)到-2對應(yīng)的點(diǎn)的距離是7，求x、y、z這三個數(shù)兩兩之積的和．
15. 計算：(1) ×24-(-3-3)2 (-6÷3)2；
(2)-1101- ；
(3)48× ．
答案
1. C 解析：在有理數(shù)中，沒有最大的負(fù)數(shù)，也沒有最小的整數(shù)，故A、B錯；有理數(shù)按正負(fù)分可分為正有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和0三大類，故D錯；絕對值最小的數(shù)是0，故選C．
2. D 解析：運(yùn)用特殊值法，排除錯誤選項，設(shè)a＝-2，b＝-1，則 ＝- ， ＝-1，- ＞-l，A錯；ab＝2＞1，B錯； ＝ ＝2＞1，所以C錯；只有D正確．
3. C 解析：最小的正整數(shù)是1，最大的負(fù)整數(shù)是-l，絕對值最小的有理數(shù)是0，則a+b+c＝1+(-1)+0＝0，故選C．
4. C 解析：-1+2-3+4-5+6-…-99+100＝
＝50.
5. D 解析：數(shù)軸上到表示-2的點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)有兩個，左邊的點(diǎn)表示-5，右邊的點(diǎn)表示1，故選D．
6. B 解析：當(dāng)a＜3時，a-3＜0，則a-3-(3-a)＝3-a-3+a＝0．故選B．
7. C 解析：A中3與 互為倒數(shù)，B中(-2)2＝4與4相等，D中-7＝7與7相等．故選C．
8. B 解析：近似數(shù)0．010 50的有效數(shù)字有4個，它們分別是1，0，5，0；精確到了十萬分位．故選B．
9. B 解析：820億＝82 000 000 000＝8．2×1010．
10. C 解析：因為a×(-a)＝-a2，且a2≥0，所以-a2≤0．
11. 0．6 解析：一袋大米的質(zhì)量最多為(25+0．3)kg，最少為(25-0．3)kg，相差0．6 kg．
12. 2，2 ，0．02 -3．7，-
13. 1 解析：由a、b互為倒數(shù)可得ab＝1，c、d互為相反數(shù)可得c+d＝0，整體代入即可．
14. 解：因為x+3＝0，所以x＝-3．因為y+5+4的值為4，所以y+5＝0，所以y＝-5．因為z對應(yīng)的點(diǎn)到-2對應(yīng)的點(diǎn)的距離是7，所以z＝5或z＝-9．所以xy+yz+xz＝(-3)×(-5)+(-5)×5+(-3)×5＝-25或xy+yz+xz＝(-3)×(-5)+(-5)×(-9)+(-3)×(一9)＝87．
15. 解：(1)原式＝ ×24- ×24-(-6)2÷(-2)2
＝3-10-36÷4＝3-10-9＝-16．
(2)原式＝-1- ＝-l- ＝-1- ＝-1+ ＝ .
(3)原式＝48× +48× -48× ＝4+8-36＝-24.
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