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湖南省婁底市2013年中考數(shù)學(xué)試卷
一、精心選一選，旗開得勝（本大題共10道小題，每小題3分，滿分30分）
1．（3分）（2013?婁底）?2013的值是（　�。�
　A． B．? C．2013D．?2013
考點：絕對值．
分析：計算絕對值要根據(jù)絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
解答：解：?2013=2013．
故選C．
點評：此題考查了絕對值的性質(zhì)，要求掌握絕對值的性質(zhì)及其定義，并能熟練運用到實際運算當(dāng)中．
絕對值規(guī)律總結(jié)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．
　
2．（3分）（2013?婁底）下列運算正確的是（　�。�
　A． （a4）3=a7B．a(chǎn)6÷a3=a2C．（2ab）3=6a3b3D．?a5?a5=?a10
考點：同底 數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：分別利用同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的、積的乘方法則分的判斷得出即可．
解答：解：A、（a4）3=a12，故此選項錯誤；
B、a6÷a3=a3，故此選項錯誤；
C、（2ab）3=8a3b3，故此選項錯誤；
D、?a5?a5=?a10，故此選項正確．
故選：D．
點評：本題考查了同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算的法則．
　
3．（3分）（2013?婁底）下列圖形中，由AB∥CD，能使∠1=∠2成立的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：平行線的性質(zhì)．
分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、由AB∥CD可得∠1+∠2=180°，故本選項錯誤；
B、∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵∠2=∠3（對頂角相等），
∴∠1=∠2，
故本選項正確；
C、由AC∥BD得到∠1=∠2，由AB∥CD不能得到，故本選項錯誤；
D、梯形ABCD是等腰梯形才可以有∠1=∠2，故本選項錯誤．
故選B．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
　
4．（3分）（2013?婁底）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是（　�。�
　A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
考點：一次函數(shù)的圖象．
分析：根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)可直接解答．從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b＜0的解集，就是圖象在x軸下方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
解答：解：因為直線y=kx+b與x軸的交點坐標(biāo)為（2，0），
由函數(shù)的圖象可知當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是x＜2．
故選C．
點評：此題考查一次函數(shù)的圖象，運用觀察法解一元一次不等式通常是從交點觀察兩邊得解．
　
5．（3分 ）（2013?婁底）有一組數(shù)據(jù)：2，5，7，2，3，3，6，下列結(jié)論錯誤的是（　�。�
　A．平均數(shù)為4B．中位數(shù)為3C．眾數(shù)為2D．極差是5
考點：極差；算 術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
分析：根據(jù)極差、眾數(shù)及中位數(shù)的定義，結(jié)合選項進(jìn)行判斷即可．
解答：解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，2，3，3，5，6，7，
A、平均數(shù)=（2+2+3+3+5+6+7）=4，結(jié)論正確，故本選項錯誤；
B、中位數(shù)為3，結(jié)論正確，故本選項錯誤；
C、眾數(shù)為2和3，結(jié)論錯誤，故本選項正確；
D、極差為7?2=5，結(jié)論正確，故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題考 查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及極差的知識，掌握各部分的定義是關(guān)鍵，在判斷中位數(shù)的時候一樣要將數(shù)據(jù)從新排列．
　
6．（3分）（2013?婁底）下列命題中，正確的是（　�。�
　A．平行四邊形的對角線相等B．矩形的對角線互相垂直
　C．菱形的對角線互相垂直且平分D． 梯形的對角線相等
考點：命題與定理．
分析：根據(jù)菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)分別判斷得出即可．
解答：解：A、根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分不相等，故此選項錯誤；
B、矩形的對角線相等，不互相垂直，故此選項錯誤；
C、根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直且平分，故此選項正確；
D、根據(jù)等腰梯形的對角線相等，故此選項錯誤；
故選：C．
點評：此題主要考查了菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
　
7．（3分）（2013?婁底）式子 有意義的x的取值范圍是（　�。�
　A．x≥?且x≠1B．x≠1C． D．
考點：二次根式有意義 的條件；分式有意義的條件．
分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式進(jìn)行計算即可得解．
解答：解：根據(jù)題意得，2x+1≥0且x?1≠0，
解得x≥?且x≠1．
故選A．
點評：本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
　
8．（3分）（2013?婁底）課間休息，小亮與小明一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲，小明出“剪刀”的概率是（　　）
　A．B．C．D．
考點：概率公式．
分析：游戲中一共有3種情況：“剪刀”、“石頭”、“布”，其中是“剪刀”的情況只有一種．利用概率公式進(jìn)行計算即可．
解答：解：小亮與小明一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲，
一共有3種情況：“剪刀”、“石頭”、“布”，并且每一種情況出現(xiàn)的可能性相同，
所以小明出“剪刀”的概率是．
故選B．
點評：本題考查了概率公式：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．
　
9．（3分）（2013?婁底）下列圖形中是中心對稱圖形的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：中心對稱圖形．
分析：根據(jù)中心對稱的定義，結(jié) 合所給圖形即可作出判斷．
解答：解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、是中心對稱圖形，故本選項正確；
C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
故選：B．
點評：本題考查了中心對稱圖形的特點，屬于基礎(chǔ)題，判斷中心對稱圖形的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合．
　
10．（3分）（2013?婁底）如圖，⊙O1，⊙O2、相交于A、B兩點，兩圓半徑分別為6cm和8cm，兩圓的連心線O1O2的長為10cm，則弦AB的長為（　�。�
　A．4.8cmB．9.6cmC．5.6cmD．9.4cm
考點：相交兩圓的性質(zhì)．
分析：根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出AC=AB，進(jìn)而利用勾股定理得出AC的長．
解答：解：連接AO1，AO2，
∵⊙O1，⊙O2相交于A、B兩點，兩圓半徑分別為6cm和8cm，兩圓的連心線O1O2的長為10cm，
∴O1O2⊥AB，
∴AC=AB，
設(shè)O1C=x，則O2C=10?x，
∴62?x2=82?（10?x）2，
解得：x=3.6，
∴AC2=62?x2=36?3.62=23.04，
∴AC=4.8cm，
∴弦AB的長為：9.6cm．
故選：B．
點評：此題考查了相交圓的性質(zhì)與勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
　
二、細(xì)心填一填，一錘定音（本大題共8道小題，每小題4分，滿分32分）
11．（4分）（2013?婁底）計算： =　2�。�
考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
分析：分別進(jìn)行負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡等運算，然后按照實數(shù)的運算法則計算即可．
解答：解：原式=3?1?4× +2
=2．
故答案為：2．
點評：本題考查了實數(shù)的運算，涉及了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡等知識點，屬于基礎(chǔ)題．
　
12．（4分）（2013?婁底）如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是　∠B=∠C或AE=AD�。ㄌ砑右粋�條件即可）．
考點：全等三角形的判定．
專題：開放型．
分析：要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，則可以添加一個邊從而利用SAS來判定其全等或添加一個角從而利用AAS來判定其全等．
解答：解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分別根據(jù)ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．
故填∠B=∠C或AE=AD．
點評：本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．
　
13．（4分）（2013?婁底）如圖，已知A點是反比例函數(shù) 的圖象上一點，AB⊥y軸于B，且△ABO的面積為3，則k的值為　6　．
考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=k．
解答：解：根據(jù)題意可知：S△ABO=k=3，
由于反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，k＞0，
則k=6．
故答案為：6．
點評 ：本題主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為k，是經(jīng)常考查的一個知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．
　
14．（4分）（2013?婁底）如圖，將直角三角板60°角的頂點放在圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A、B兩點，P是優(yōu)弧AB上任意一點（與A、B不重合），則∠APB=　30°　．
考點： 圓周角定理．
分析：根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，即可得出答案．
解答：解：由題意得，∠AOB=60°，
則∠APB=∠AOB=30°．
故答案為：30°．
點評：本題考查了圓周角定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理的內(nèi)容．
　
15．（4分）（2013?婁底）婁底市商務(wù)局對外貿(mào)易部2014年進(jìn)出口總額達(dá)12.8億元，則12.8億用科學(xué)記數(shù)法表示為　1.28×109�。�
考點：科學(xué)記數(shù)法?表示較大的數(shù)．
分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點，由于12.8億有10位，所以可以確定n=10?1=9．
解答：解：12.8億=1 280 000 000=1.28×109．
故答案為：1.28×109．
點評：此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵．
　
16．（4分）（2013?婁底）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為　6�。�
考點：多邊形內(nèi)角與外角．
分析：利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．
解答：解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，
則內(nèi)角和是720度，
720÷180+2=6，
∴這個多邊形是六邊形．
故答案為：6．
點評：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
　
17．（4分）（2013?婁底）一圓錐的底面半徑為1cm，母線長2cm，則該圓錐的側(cè)面積為　2π　cm2．
考點：圓錐的計算．
分析：圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
解答：解：圓錐的側(cè)面積=2π×1×2÷2=2π．
故答案為：2π．
點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．
　
18．（4分）（2013?婁底）如圖，是用火柴棒拼成的圖形，則第n個圖形需　2n+1　根火柴棒．
考點：規(guī)律型：圖形的變化類．
分析：按照圖中火柴的個數(shù)填表即可當(dāng)三角形的個數(shù)為：1、 2、3、4時，火柴棒的個數(shù)分別為：3、5、7、9，由此可以看出當(dāng)三角形的個數(shù)為n時，三角形個數(shù)增加n?1個，那么此時火柴棒的個數(shù)應(yīng)該為：3+2（n?1）進(jìn)而得出答案．
解答：解：根據(jù)圖形可得出：
當(dāng)三角形的個數(shù)為1時，火柴棒的根數(shù)為3；
當(dāng)三角形的個數(shù)為2時，火柴棒的根數(shù)為5；
當(dāng)三角形的個數(shù)為3時，火柴棒的根數(shù)為7；
當(dāng)三角形的個數(shù)為4時，火柴棒的根數(shù)為9；
…
由此可以看出：當(dāng)三角形的個數(shù)為n時，火柴棒的根數(shù)為3+2（n?1）=2n+1．
故答案為：2n+1．
點評：此題主要考查了圖形變化類，本題解題關(guān)鍵根據(jù)第一問的結(jié)果總結(jié)規(guī)律是得到規(guī)律：三角形的個數(shù)每增加一個，火柴棒的個數(shù)增加2根，然后由此規(guī)律解答．
　
三、用心做一做，慧眼識金（本大題共3道小題，每小題7分，滿分21分）
19．（7分）（2013?婁底）先化簡，再求值：（x+y）（x?y）?（4x3y?8xy3）÷2xy，其中x=?1， ．
考點：整式的混合運算?化簡求值．
專題：．
分析：原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用多項式除單項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，將x與y的值代入計算即可求出值．
解答：解：原式=x2?y2?2x2+4y2=?x2+3y2，
當(dāng)x=?1，y= 時，原式=?1+1=0．
點評：此題考查了整式的混合運算?化簡求值，涉及的知識有：平方差公式，多項式除單項式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
　
20．（7分）（2013?婁底）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進(jìn)行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： ）
考點：解直角三角形的應(yīng)用．
分析：過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關(guān)于x的方程，解出即可．
解答：解：過點C作CD⊥AB于點D，
設(shè)CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
則AD= CD= x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
則BD=CD=x，
由題意得， x?x=4，
解得：x= =2（ +1）≈5.5．
答：生命所在點C的深度為5.5米．
點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)知識表示出相關(guān)線段的長度，注意方程思想的運用．
　
21．（7分）（2013?婁底）2013年婁底市教育局對九年級學(xué)生的信息技術(shù)、物理實驗操作、化學(xué)實驗操作成績進(jìn)行抽樣調(diào)查，成績評定A、B、C、D四個等級．現(xiàn)抽取1000名學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計分析（其中A、B、C、D分別表示優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級），其相在數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
（1）請將上表空缺補(bǔ)充完整；
（2）全市共有40000名學(xué)生參加測試，試估計該市九年級學(xué)生信息技術(shù)成績合格以上（含合格）的人數(shù)；
（3）在這40000名學(xué)生中，化學(xué)實驗操作達(dá)到優(yōu)秀的大約有多少人？
考點：扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；統(tǒng)計表．
分析：（1）根據(jù)抽取1000名學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計分析得出表格中數(shù)據(jù)即可；
（2）首先求出樣本中信息技術(shù)成績合格以上的比例，進(jìn)而求出該市九年級學(xué)生信息技術(shù)成績合格以上（含合格）的人數(shù)；
（3）首先求出樣本中化學(xué)實驗操作達(dá)到優(yōu)秀的比例，進(jìn)而求出該市九年級化學(xué)實驗操作達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)．
解答：解：（1）∵現(xiàn)抽取1000名學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，
∴信息技術(shù)總?cè)藬?shù)為：1000×40%=400（人），物理實驗操作總?cè)藬?shù)為：1000×30%=300（人），
化學(xué)實驗操作總?cè)藬?shù)為：1000×30%=300（人），
∴信息技術(shù)A級的人數(shù)為：400?120?120?40=120（人），
物理實驗操作B級的人數(shù)為：300?100?80?30=90（人），
化學(xué)實驗操作C級的人數(shù)為：300?120?90?20=70（人）；
（2）∵樣本中信息技術(shù)成績合格以上的比例為： ×100%=90%，
∴該市九年級學(xué)生信息技術(shù)成績合格以上（含合格）的人數(shù)為：40000×90%=36000（人）；
（3））∵化學(xué)實驗操作達(dá)到優(yōu)秀的比例為： ×100%=40%，
∴該市九年級學(xué)生化學(xué)實驗操作達(dá)到優(yōu)秀的大約有：40000×40%=16000（人）．
點評：此題主要考查了扇形統(tǒng)計圖以及利用樣本估計總體等知識，利用扇形圖求出每個項目的人數(shù)是解題關(guān)鍵．
　
四、綜合用一用，馬到成功（本大題共1道小題，滿分8分）
22．（8分）（2013?婁底）為了創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元．已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數(shù)是甲車的2倍，且乙車每趟運費比甲車少200元．
（1）求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟？
（2）若單獨租用一臺車，租用哪臺車合算？
考點：分式方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．
分析：（1）假設(shè)甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運2x趟，根據(jù)總工作效率 得出等式方程求出即可；
（2）分別表示出甲、乙兩車單獨運每一趟所需費用，再根據(jù)關(guān)鍵語句“兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元”可得方程，再解出方程，再分別計算出利用甲或乙所需費用進(jìn)行比較即可．
解答：解：（1）設(shè)甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運2x趟，根據(jù)題意得出：
+ = ，
解得：x=18，
則2x=36，
經(jīng)檢驗得出：x=18是原方程的解，
答：甲車單獨運完需18趟，乙車單獨運完需36趟；
（2）設(shè)甲車每一趟的運費是a元，由題意得：
12a+12（a?200）=4800，
解得：a=300，
則乙車每一趟的費用是：300?200=100（元），
單獨租用甲車總費用是：18×300=5400（元），
單獨租用乙車總費用是：36×100=3600（元），
3600＜5400，
故單獨租用一臺車，租用乙車合算．
點評：此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．
　
五、耐心想一想，再接再厲（本大題共1道小題，滿分9分）
23．（9分）（2013?婁底）某校九年級學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），如圖（2），AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．
（1）求證：AM=AN；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．
考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，進(jìn)而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四邊形ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．
解答：（1）證明：∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，
在△ABM和△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；
（2）解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時，四邊形ABPF是菱形．
理由：連接AP，
∵∠α=30°，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAB=120°，
∵∠B=60°，
∴AF∥BP，
∴∠F=∠FPC=60°，
∴∠FPC=∠B=60°，
∴AB∥FP，
∴四邊形ABPF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABPF是菱形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關(guān)鍵．
　
六、探究試一試，超越自我（本大題共2道小題，每小題10分，滿分20分）
24．（10分）（2013?婁底）已知：一元二次方程x2+kx+k?=0．
（1）求證：不論k為何實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）設(shè)k＜0，當(dāng)二次函數(shù)y=x2+kx+k?的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為4時，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為C，過y軸上一點M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時，直線l與△ABC的外接圓有公共點？
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析： （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=b2?4ac的符號來判定已知方程的根的情況；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系（xA?xB= =4）列出關(guān)于k的方程，通過解方程來求k的值；
（3）根據(jù)直線與圓的位置的位置關(guān)系確定m的取值范圍．
解答：（1）證明：∵△=k2?4××（k?）=k2?2k+1=（k?1）2≥0，
∴關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+k?=0，不論k為何實數(shù)時，此方程總有兩個實 數(shù)根；
（2）令y=0，則x2+kx+k?=0．
∵xA+xB=?2k，xA?xB=2k?1，
∴xA?xB= = =2k?1=4，即k?1=2，
解得k=3（不合題意，舍去），或k=?1．
∴此二次函數(shù)的解析式是y=x2?x?；
（3）由（2）知，拋物線的解析式是y=x2?x?．
易求A（?1，0），B（3，0），C（1，?2），
∴AB=4，AC=2 ，BC=2 ．
顯然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB為斜邊，
∴外接圓的直徑為AB=4，
∴?2≤m≤2．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有：拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及直線與圓的關(guān)系，范圍較廣，難度較大．
　
25．（10分）（2013?婁底）如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證： ；
（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點時停止運動），設(shè)運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
考點：相似形綜合題．
分析：（1）由相似三角形，列出比例關(guān)系式，即可證明；
（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積；
（3）本問是運動型問題，要點是弄清矩形EFPQ的運動過程：
（I）當(dāng)0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；
（II）當(dāng)2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊部分是一個三角形．
解答：（1）證明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴ ，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴ ，
∴ ．
（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC?BD=5?4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴ ，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴ ，
∴ ，即 ，∴EH=4HF，
已知EF=x，則EH=x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD?QD=BD?EH=4?x．
S矩形EFPQ=EF?EQ=x?（4?x）=?x2+4x=?（x?）2+5，
∴當(dāng)x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．
（3）解：由（2）可知，當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為4?×=2．
在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：
（I）當(dāng)0≤t≤2時，如答圖①所示．
設(shè)矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H1，D1．
此時DD1=t，H1D1=2，
∴HD1=HD?DD1= 2?t，HH1=H1D1?HD1=t，AH1= AH?HH1=2?t，．
∵KN∥EF，∴ ，即 ，得KN=（2?t）．
S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=（KN+EF）?HH1+EF?EQ1
= [（2?t）+]×t+（2?t）
= t2+5；
（II）當(dāng)2＜t≤4時，如答圖②所示．
設(shè)矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D2．
此時DD2=t，AD2=AD?DD2=4?t，
∵KN∥EF，∴ ，即 ，得KN=5?t．
S=S△AKN=KN?AD2
=（5?t）（4?t）
=t2?5t+10．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S= ．
點評：本題是運動型相似三角形壓軸題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達(dá)式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個知識點，涉及考點較多，有一定的難度．難點在于第（3）問，弄清矩形的運動過程是解題的關(guān)鍵．


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