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第十二章　軸對稱
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
本章主要從生活中的圖形入手，學(xué)習(xí)軸對稱及其基本性質(zhì)，欣賞、體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用．在此基礎(chǔ)上，利用軸對稱探索等腰三角形的性質(zhì)及其判定方法，進一步學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)和判定．
軸對稱是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實聯(lián)系的重要內(nèi)容．本章內(nèi)容是上一章內(nèi)容的繼續(xù)．又是后面學(xué)習(xí)四邊形、圓的基礎(chǔ)，所以學(xué)好本節(jié)知識至關(guān)重要．本節(jié)中涉及軸對稱、等腰三角形、等邊三角形、垂直平分線等重要概念，涉及等腰三角形“等邊對等角”、“三線合一”等重要性質(zhì)，在學(xué)習(xí)時應(yīng)特別注意．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點
【本章重點】
1．軸對稱的概念和性質(zhì)和判定．
2．等腰(或等邊)三角形的性質(zhì)和判定．
【本章難點】1．利用軸對稱的性質(zhì)進行圖案設(shè)計．
2．書寫推理證明過程．
小結(jié)3 學(xué)法指導(dǎo)
1．注意聯(lián)系實際，通過觀察、動手操作等直觀方式掌握軸對稱及等腰三角形的性質(zhì)和判定，利用軸對稱的觀點解釋生活中的有關(guān)現(xiàn)象，設(shè)計圖案選擇最佳方案等，體現(xiàn)知識的應(yīng)用，體現(xiàn)具體——抽象——具體的過程．
2．注意知識間的聯(lián)系．圖形的軸對稱變換、圖形與坐標(biāo)、圖形的證明在本章都有涉及，注意各部分知識之間的聯(lián)系，把所學(xué)知識納入已有的知識體系．
3．注意體會轉(zhuǎn)化思想、類比思想、分類討論思想在本章學(xué)習(xí)中的應(yīng)用．
知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖


專題總結(jié)及應(yīng)用
　　一、知識性專題
專題1　軸對稱及軸對稱圖形
【專題解讀】　此部分內(nèi)容是近幾年中考中常見的題型，也是新題型之一，解題的依據(jù)主要是軸對稱及軸對稱的性質(zhì)．
例1 如圖12－112所示的是小方畫的正方形風(fēng)箏圖案，她以圖中的對角線所在直線為對稱軸，在對角線的下方畫一個三角形，使得新的風(fēng)箏圖案成為軸對稱圖形，若如圖12－113所示的圖形中有一圖形為此軸對稱圖形，則此圖為 ( )

分析　本題主要考查軸對稱圖形的性質(zhì)，即對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分，只有C為軸對稱圖形．故選C．
規(guī)律?方法　判斷某圖形是否為軸對稱圖形(或兩個圖形是否成軸對稱)，關(guān)鍵是能否找到一條直線可將這個圖形(或兩個圖形)沿著這條直線對折，使對折后的兩部分(或兩個圖形)重合．
專題2　利用軸對稱變換作軸對稱變換后的圖形及設(shè)計方案
【專題解讀】 利用軸對稱變換設(shè)計精美圖案，當(dāng)對稱軸改變方向時，原圖形的對稱圖形也改變方向，一個圖形經(jīng)過若干次軸對稱變換，再結(jié)合平移、旋轉(zhuǎn)等．就可以得到非常美麗的圖案．
例2　如圖12－114①所示，給出了一個圖案的一半，其中的虛線就是這個圖案的對稱軸，請畫出這個圖案的另一半．
解：如圖12－114②所示．
【解題策略】 先作出特殊點的對稱點，然后連接即可．
專題3　等腰三角形的性質(zhì)和判定
【專題解讀】等腰三角形的性質(zhì)和判定可以用來證明角相等、線段相等以及線段垂直，這是幾何證明中最重要的知識之一，它經(jīng)常與其他幾何知識(如四邊形、圓等)綜合在一起考查．
例3　如圖12－115所示，AB＝AC，E，D分別在AB，AC上，BD和CE相交于點F，且∠ABD＝∠ACE．求證BF＝CF．
分析　本題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)和判定．由于AB＝AC，所以作輔助線BC，則可以構(gòu)造等腰三角形，從而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．
證明：連接BC，
　　　∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等邊對等角)．
　　　 又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
　　　 ∴BF＝CF(等角對等邊)．
【解題策略】 本題解題時靈活運用了等腰三角形的性質(zhì)和判定，也可以連輔助線AF，來證明BF＝CF，用這個方法證明要用到三角形全等，比較麻煩．
專題4 等邊三角形的性質(zhì)和判定
【專題解讀】　等邊三角形是一個很特殊的三角形，它的三邊都相等，三個角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的幾何證明題中都會用到．
例4　如圖12－116所示，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，BC＝4，若將△ADC沿直線AD折疊，則C點落在點E的位置上，求BE的長．
分析　本題綜合考查軸對稱和等邊三角形的判定和性質(zhì)．
解：由折疊得∠ADE＝∠ADC＝60°，CD＝DE．
　　 又∵BD＝DC，∴DE＝BD．
　　 ∵∠ADE＝∠ADC＝60°，
　　 ∴∠BDE＝180°－60°－60°＝60°．
　　 ∴△BDE為等邊三角形．
　　 ∴BE＝BD＝ BC＝2．
【解題策略】　本題運用了“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這一判定方法．
專題5 含30°角的直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形的綜合應(yīng)用
【專題解讀】 直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，這條性質(zhì)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角邊和斜邊的關(guān)系．
例5　如圖12－117所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于點D．求證BE＝3AD．
分析　本題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)．
證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對等角)．
　　　又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°．
　　　∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．
　　　 ∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝120°－90°＝30°．∴∠B＝∠BAD．
　　　 ∴BD＝AD(等角對等邊)．
　　　在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD．
　　　∴BC＝BD＋CD＝AD＋2AD＝3AD．
　　二、規(guī)律方法專題
　　專題6　正確作輔助線解決問題
【專題解讀】 本章涉及等腰三角形的性質(zhì)、角平分線及線段的垂直平分線的性質(zhì)，做題時可通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線由全等等知識獲得結(jié)論．
例6　如圖12－118所示，∠B＝90°，AD＝AB＝BC，DE⊥AC．求證BF＝DC．
證明：連接AE．
　　　∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°．
　　　又∵∠B＝90°．
　　　 ∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE＝ED．
　 ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠C．
又∵∠B＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°．
∴∠C＝45°．
∵∠EDC＝90°，∴∠C＝∠DEC＝45°．
∴DE＝DC，∴BE＝DC．
例7　如圖12－119所示，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一點E，在AC的延長線上取一點F，使BE＝CF，EF交BC于G．求證EG＝FG．
證明：過E作EM∥AC，交BC于點M，
則∠EMB＝∠ACB，∠MEG＝∠F．
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠EMB，∴EB＝EM．
又∵BE＝CF，∴EM＝FC．
在△MEG和△CFG中，

∴△MEG≌△CFG(AAS)．
∴EG＝FG．
　　三、思想方法專題
專題7　分類討論思想
【專題解讀】　本章涉及等腰三角形的邊、角的計算，應(yīng)通過題意探討其可能存在的情況，運用相關(guān)知識一一討論不難獲得結(jié)論．
例8　已知等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為13 cm和15 cm兩部分，試求此等腰三角形的腰長和底邊長．
分析 這是一類常見的等腰三角形分類討論的問題，解題時應(yīng)注意到分為13 cm和15 cm兩部分時的兩種可能情形，進行分類討論即可．
解：如圖12－120所示，AB＝AC，D為AC的中點，
所以AD＝CD，
由題意知 或
解得AB＝AC＝ ，BC＝ 或AB＝AC＝10，BC＝8．
即此等腰三角形的腰長與底邊長分別為 cm， cm或10 cm，8 cm．
規(guī)律?方法　本題的分類討論既可以說是來源于不同的圖形．也可以說是來源于題設(shè)中的“不明確”，解題過程應(yīng)從題設(shè)中挖掘出類似的信息，以使解答完整．
專題8　數(shù)形結(jié)合思想
【專題解讀】　數(shù)形結(jié)合思想是比較常用的數(shù)學(xué)思想，在解有關(guān)三角形的問題時顯得尤為重要．
例9 (開放題) 如圖12－121所示，△ABC中，已知AB＝AC，要使AD＝AE，需添加的條件是 　�。�
分析 從確定△ADE是等腰三角形著眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外還可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10 (探究題)如圖12－122所示，線段OP的一個端點O在直線a上，以O(shè)P為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線a上，這樣的等腰三角形能畫幾個?
分析　以O(shè)P為一邊畫等腰三角形，要考慮OP作腰和OP作底邊兩種情況．

解：(1)當(dāng)OP作等腰三角形的腰時，分O作頂點和P作頂點兩種情況．當(dāng)O作頂點，OP作腰時，則以O(shè)為圓心，OP為半徑畫弧，與直線a交于M1，M2兩點，則△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；當(dāng)P作頂點，PO作腰時，則以P為圓心，PO為半徑畫弧，交直線a于M3，則△POM3為等腰三角形． (2)當(dāng)OP作等腰三角形的底邊時，作OP的垂直平分線交直線a于M4，則△OPM4為等腰三角形．
所以這樣的等腰三角形能畫4個．如圖12－123所示．
例11 (動手操作題)如圖12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照圖①請你再用兩種不同的方法，將△ABC分割成3個三角形，使每個三角形都是等腰三角形(作圖工具不限，不寫作法和證明，但要標(biāo)出所分得的每個等腰三角形的內(nèi)角的度數(shù))．
分析　在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或頂角為36°，72°，108°，18°，144°，以這些度數(shù)為基礎(chǔ)設(shè)計分割方案，便可得出符合條件的圖形．
解：如圖12－124②③④⑤所示均符合要求．

2011中考真題精選
1. （2011江蘇淮安，2，3分）下列交通標(biāo)志是軸對稱圖形的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考點：軸對稱圖形。
分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，只要尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，既是軸對稱圖形．
解答：解：A、不是軸對稱圖形； B、不是軸對稱圖形； C、不是軸對稱圖形； D、是軸對稱圖形．
故選：D．
點評：此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2. （2011?南通）下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形。
分析：結(jié)合軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義進行分析
解答：解：A項是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本項錯誤，B項為中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本項錯誤，C項為中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本項正確，
D項為軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本項錯誤故答案選擇C．
點評：本題主要考察軸對稱圖象的定義和中心對稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是找到圖形是否符合軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義
3. （2011江蘇無錫，6，3分）一名同學(xué)想用正方形和圓設(shè)計一個圖案，要求整個圖案關(guān)于正方形的某條對角線對稱，那么下列圖案中不符合要求的是（　�。�
A． B． C． D．
考點：軸對稱圖形。
專題：數(shù)形結(jié)合。
分析：軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合．
解答：解：A、圖象關(guān)于對角線所在的直線對稱，兩條對角線都是其對稱軸；故不符合題意；
B、圖象關(guān)于對角線所在的直線對稱，兩條對角線都是其對稱軸；故不符合題意；
C、圖象關(guān)于對角線所在的直線對稱，有一條對稱軸；故不符合題意；
D、圖象關(guān)于對角線所在的直線不對稱；故符合題意；
故選D．
點評：本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
4. （2011山西，6，2分）將一個矩形紙片依次按圖（1）、圖⑵的方式對折，然后沿圖（3）中的虛線裁剪，最后頭將圖（4）的紙再展開鋪平，所得到的圖案是（ ）


考點：軸對稱
專題：操作題 圖形變換
分析：由圖案的對稱性進行想象，或動手操作一下都可．
解答：A
點評：動手折一折，動腦想一想．不難得出答案．
5. （2011四川廣安，5，3分）下列幾何圖形：①角 ②平行四邊形 ③扇形 ④正方形，其中軸對稱圖形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考點：軸對稱圖形
專題：對稱
分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念及所給出的圖形的特點可知①角，③扇形，④正方形是軸對稱圖形．而平行四邊形是中心對稱圖形．
解答：C
點評：把一個圖形沿著某一條直線對稱，如果圖形左右兩邊的部分能夠完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，解題時要注意記住初中階段學(xué)過的哪些基本圖形是軸對稱圖形．
6.（2011?臺灣4，4分）下列有一面國旗是軸對稱圖形，根據(jù)選項中的圖形，判斷此國旗為何（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點：軸對稱圖形。
專題：常規(guī)題型。
分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸．
解答：解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是軸對稱圖形，故本選項正確．
故選D．
點評：本題考查軸對稱圖形，注意掌握軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
7. （2011?臺灣26，4分）如圖1，將某四邊形紙片ABCD的AB向BC方向折過去（其中AB＜BC），使得A點落在BC上，展開后出現(xiàn)折線BD，如圖2．將B點折向D，使得B、D兩點重迭，如圖3，展開后出現(xiàn)折線CE，如圖4．根據(jù)圖4，判斷下列關(guān)系何者正確？（　　）

A、AD∥BCB、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDCD、∠ADB＞∠BDC
考點：翻折變換（折疊問題）。
專題：操作型。
分析：由A點落在BC上，折線為BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ABD=∠CBD，又B點折向D，使得B、D兩點重迭，折線為CE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CD=CB，然后轉(zhuǎn)化為角相等，這樣就有∠ABD=∠CDB，根據(jù)平行線的判定定理即可得到B正確．
解答：解：∵A點落在BC上，折線為BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B點折向D，使得B、D兩點重迭，折線為CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即選項B正確．
故選B．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊后重疊的兩部分圖形全等．也考查了動手能力和空間想象能力．
8. （2011湖北荊州，2，3分）下列四個圖案中，軸對稱圖形的個數(shù)是（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4 考點：軸對稱圖形．
分析：根據(jù)軸對稱圖形的定義1得出，圖形沿一條直線對著，分成的兩部分完全重合及是軸對稱圖形，分別判斷得出即可．
解答：解：根據(jù)圖象，以及軸對稱圖形的定義可得，
第1，2，4個圖形是軸對稱圖形，第3個是中心對稱圖形，
故選：C．
點評：此題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)定義判斷出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．
9.（2011?柳州）在三角形、四邊形、五邊形、和正六邊形中，是軸對稱圖形的是（　�。�
A、三角形B、四邊形
C、五邊形D、正六邊形
考點：軸對稱圖形。
專題：幾何圖形問題。
分析：關(guān)于某條直線對稱的圖形叫軸對稱圖形．
解答：解：只有正六邊形沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合，是軸對稱圖形．
故選D．
點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形．
10. （2011?郴州）觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形。
專題：幾何圖形問題。
分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解答：解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故本選項正確；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤．
故選C．
點評：本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識，要注意：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
11. （2011山東青島，4，3分）下列汽車標(biāo)志中既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
考點：軸對稱圖形；中心對稱圖形。
分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解答：解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；
C．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；
D．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
故選D．
點評：此題將汽車標(biāo)志與對稱相結(jié)合，掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
12. （2011泰安，19，3分）如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC＝3，則折痕CE的長為（　　）

A． B． C． D．6
考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理。
專題：探究型。
分析：先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)求出AC的長，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分線，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3 ，
在Rt△AOE中，設(shè)OE＝x，則AE＝3 －x，
AE2＝AO2＋OE2，即（3 －x）2＝（3 ）2＋32，解得x＝ ，
∴AE＝EC＝3 － ＝2 ．
故選A．
點評：本題考查的是翻折變換，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識是解答此題的關(guān)鍵．
13. （2011山東省濰坊， 4，3分）如圖，陰影部分是由5個小正方形涂黑組成的一個直角圖形，再將方格內(nèi)空白的兩個小正方形涂黑．得到新的圖形(陰影部分)，其中不是軸對稱圖形的是( )











【考點】軸對稱圖形．
【分析】本題需先根據(jù)軸對稱圖形的有關(guān)概念沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合對每一個圖形進行分析即可得出正確答案．
【解答】解：A∵沿某直線折疊，分成的兩部分能互相重合
∴它是軸對稱圖形
B、∵沿某直線折疊，分成的兩部分能互相重合
∴它是軸對稱圖形
C、∵繞某一點旋轉(zhuǎn)180°以后，能夠與原圖形重合
∴它是軸對稱圖形
D、根據(jù)軸對稱定義
它不是軸對稱圖形
故選D．
【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的有關(guān)概念，在解題時要注意軸對稱圖形的概念與實際相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．
2011四川達州，2，3分）圖中所示的幾個圖形是國際通用的交通標(biāo)志．其中不是軸對稱圖形的是（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點：軸對稱圖形。
分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．
解答：解：A、B、D都是軸對稱圖形，而C不是軸對稱圖形．
故選C．
點評：本題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
14. （2011四川廣安，5，3分）下列幾何圖形：①角 ②平行四邊形 ③扇形 ④正方形，其中軸對稱圖形是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
考點：軸對稱圖形
專題：對稱
分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念及所給出的圖形的特點可知①角，③扇形，④正方形是軸對稱圖形．而平行四邊形是中心對稱圖形．
解答：C
點評：把一個圖形沿著某一條直線對稱，如果圖形左右兩邊的部分能夠完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，解題時要注意記住初中階段學(xué)過的哪些基本圖形是軸對稱圖形．
15. 2011四川瀘州，11，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，將BC向BA方向翻折過去，使點C落在BA上的點C′，折痕為BE，則EC的長度是（　�。�
A. B. －5 C.10－ D.5+
考點：翻折變換（折疊問題）．
分析：作ED⊥BC于D，可得含30°的Rt△CED及含45°的直角三角形BED，設(shè)所求的EC為x，則CD=0.5x，BD=BE= x，根據(jù)BC=5列式求值即可．
解答：解：作ED⊥BC于D，設(shè)所求的EC為x，則CD= x，BD=BE= x，
∵∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，∴BC=AC×cosC=5，
∵CD+BD=5，∴CE= －5，故選B．
點評：考查翻折變換問題；構(gòu)造出含30°及含45°的直角三角形是解決本題的突破點．
16. 在下列幾何圖形中，一定是軸對稱圖形的有（　�。�

A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
【答案】C
【考點】軸對稱圖形．
【專題】幾何圖形問題．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，分析各圖形的特征求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．這條直線叫做對稱軸．
【解答】解：扇形是軸對稱圖形，符合題意；等腰梯形是軸對稱圖形，符合題意；
菱形是軸對稱圖形，符合題意；直角三角形不一定是軸對稱圖形，故不符合題意．
共3個軸對稱圖形．故選C．
【點評】考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
17. 12、如圖．在直角坐標(biāo)系中，矩形ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E．那么點D的坐標(biāo)為（　�。�
A、 B、 C、 D、

【答案】A
【考點】翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
【專題】計算題；綜合題．
【分析】如圖，過D作DF⊥AF于F，根據(jù)折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到OE=DE，OA=CD=1，設(shè)OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的長度，而利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF、AF的長度，也就求出了D的坐標(biāo)．
【解答】解： 如圖，過D作DF⊥AF于F，
∵點B的坐標(biāo)為（1，3），∴AO=1，AB=3，
根據(jù)折疊可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
設(shè)OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x= ，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3- ，∴ ，即 ，
∴DF= ，AF= ，
∴OF= -1= ，
∴D的坐標(biāo)為（- ， ）．故選A．
【點評】此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．

綜合驗收評估測試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1．如圖12－125所示的四個中文藝術(shù)字中，不是軸對稱圖形的是( )
一 日 千 里
A B C D
圖12 - 125
　　2．如圖12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折疊，使點A落在邊BC上的點E處．下面結(jié)論錯誤的是 ( )
　　 A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝CE D．AD＝EC

　　3．如圖12－127所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA＝5，則線段PB的長度為 ( )
　　　 A．6 B．5 C．4 D．3
　　4．點P(3，－5)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為 ( )
A．(－3，－5) B．(5，3) C．(－3，5) D．(3，5)
　　5．如圖12－128所示，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線，對稱，且∠A＝78°，∠C′＝48°，則∠B的度數(shù)為 ( )
A．48° B．54° C．74° D．78°

　　6．如圖12－129所示的是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在 ( )
A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC的三邊的中垂線的交點
C．△ABC三條角平分線的交點 D．△ABC三條高所在直線的交點
7．如圖12－130所示的是把一張長方形的紙沿長邊中點的連線對折兩次后得到的圖形，再沿虛線裁剪，外面部分展開后的圖形是圖12－131中的( )

　　8．如圖12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分別是△ABC，△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有 ( )
　 A．5個 B．4個 C．3個 D．2個

　　9．如圖12－133所示，坐標(biāo)平面內(nèi)一點A(2，－1)，O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數(shù)為 ( )
　　 A．2 B．3 C．4 D．5
10．如圖12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于 ( )
　 A．90° B．75°
C．70° D．60°
　二、填空題(每小題3分，共30分)
　　11．等腰三角形ABC的兩邊長為2和5．則第三邊長為 　 　 ．
12．如圖12－135所示，鏡子中的號碼實際是　　 ．

　　13．如圖12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，則∠BCE＝ 　　 °．
　　14．從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于　　　 ．
　　15．如圖12－137所示，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點C′處，折痕為EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度數(shù)為　 　 度．
　　16．若等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為35°．則這個三角形的頂角為 　　　 ．
　　17．等邊三角形是軸對稱圖形，它有 　　 條對稱軸．
　　18．(1)若等腰三角形的一個內(nèi)角等于130°，則其余兩個角分別為　 　　�。�
　 (2)若等腰三角形的一個內(nèi)角等于70°，則其余兩個角分別為 　　　 ．
19．如圖12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，CD＝3，則點D到AB的距離為 　　　 ．

　　20．如圖12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延長BC到D，使CD＝CE，連接DE，若△ABC的周長是24，BE＝a，則△BDE的周長是 ．
　　三、解答題(每小題10分．共60分)
21．如圖12－140所示，有分別過A，B兩個加油站的公路l1，l2相交于點O，現(xiàn)準(zhǔn)備在∠AOB內(nèi)建一個油庫，要求油庫的位置點P滿足到A，B兩個加油站的距離相等，而且P到兩條公路l1，l2的距離也相等．請用尺規(guī)作圖作出點P(不寫作法，保留作圖痕跡)．

22．如圖12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
　 (1)要使OC＝OD，可以添加的條件為 或 ；(寫出2個符合題意的條件即可)
(2)請選擇(1)中你所添加的一個條件．證明OC＝OD．
23．如圖12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延長線上，AE＝AF，AD是BC邊上的高，試判斷EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由．

　　24．如圖12－143所示，△ABC中，點E在AC上，點N在BC上，在AB上找一點F，使△ENF的周長最小，并說明理由．
25．如圖12－144所示，某船上午11時30分在A處觀測海島B在北偏東60°方向，該船以每小時10海里的速度向正東方向航行，航行到C處時，再觀測海島B在北偏東30°方向，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，再觀測海島B在北偏西30°方向，當(dāng)輪船到達C處時恰好與海島B相距20海里，請你確定輪船到達C處和D處的時間．

26．如圖12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD為BC邊上的高，延長AB到E點，使BE＝BD，過點D，E引直線交AC于點F，則有AF＝FC．為什么?


參考答案
1．C　
2．B[提示：由折疊知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分線，所以AD＝DE．]　
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分線可知PB＝PA＝5．]　
4．D[提示：兩點關(guān)于x軸對稱，則兩點坐標(biāo)的關(guān)系是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′關(guān)于l對稱，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]　
6．C[提示：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．]
7．D[提示：按要求動手操作即可．]　
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓與x軸有兩個交點，以A為圓心，OA為半徑畫圓與x軸又交于一個與O不重合的一個點，作線段OA的垂直平分線與x軸交于一點，這四點都能使△POA為等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．]
11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底邊長，5作腰長．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分線，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因為∠ACB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]　
14．72°或 　
15．125[提示：由折疊可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠ABE＝20°，可得∠AEB＝70°，所以∠BEF＝∠DEF＝(180°－∠AEB)× ＝(180°－70°)× ＝55°．由BE∥C′F得∠FEB＋∠EFC′＝180°，所以∠EFC′＝180°－∠BEF＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴頂角為180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25° (2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°為頂角，底角為 ＝25°．(2)①若70°為頂角，則其余兩角為55°，55°；②若70°為底角，則其余兩角為40°，70°．]
19．3[提示：過D作DE⊥AB于E，∵AD為∠CAB的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3．]
20．12＋2a[提示：△BED為等腰三角形，BE＋ED＝2a，△ABC的邊長為 ＝8，△ECD為等腰三角形，CD＝EC＝4．∴△BDE的周長為4＋8＋2a＝12＋2a．]　
21．解：點P是∠AOB的平分線和線段AB的垂直平分線的交點(如圖12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD都可以． (2)提示：答案不唯一，以AC＝BD為例．證明如下：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB．又∵AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB，∴OC＝OD．
23．解：EF與BC的位置關(guān)系是：EF⊥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝ ∠BAC．又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AFE＝ ∠BAC．∴∠BAD＝∠AFE．∴EF∥AD．又∵AD⊥BC，∴EF⊥BC．
24．提示：圖略．欲使△ENF的周長最小，即EN＋NF＋EF最小，而EN為定長，則必有NF＋EF最小，又點F在AB上，且E，N在AB的同側(cè)．由軸對稱的性質(zhì)，可作點E關(guān)于直線AB的對稱點E′，連接E′N，與AB的交點即為點F，此時，F(xiàn)E＋FN最小，即△EFN的周長最�。�
25．解：∵∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∠BCD＝∠BAC＋∠CBA，∴60°＝30°＋∠CBA，∴∠CBA＝30°．∴∠BAC＝∠CBA．∴CA＝CB．又∵∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等邊三角形．∴CD＝BC．∴AC＝CD＝BC．又∵BC＝20海里，∴AC＝CD＝20海里．∴20÷10＝2(時)，40÷10＝4(時)．∴輪船到達C處的時間是13：30，即下午1時30分．輪船到達D處的時間是15：30，即下午3時30分．
26．解：如圖12－147所示．∵BD＝BE，∴∠E＝∠1．又∵∠ABC＝∠E＋∠1＝2∠1，且∠ABC＝2∠C，∴2∠1＝2∠C，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠2．∴FD＝FC．又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．
∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．

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