2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題八 概率統(tǒng)計
【重點知識回顧】
二、重點知識回顧
概率
（1）事與基本事：
基本事：試驗中不能再分的最簡單的“單位”隨機事；一次試驗等可能的產(chǎn)生一個基本事；任意兩個基本事都是互斥的；試驗中的任意事都可以用基本事或其和的形式表示．
（2）頻率與概率：隨機事的頻率是指此事發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值．頻率往往在概率附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增加而變化，擺動幅度會越越小．隨機事的概率是一個常數(shù)，不隨具體的實驗次數(shù)的變化而變化．
（3）互斥事與對立事：
事定義集合角度理解關(guān)系
互斥事事 與 不可能同時發(fā)生兩事交集為空事 與 對立，則 與 必為互斥事；
事 與 互斥，但不一是對立事
對立事事 與 不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生兩事互補
�。�4）古典概型與幾何概型：
古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個基本事”的概率模型．
幾何概型：每個事發(fā)生的概率只與構(gòu)成事區(qū)域的長度（面積或體積）成比例．
兩種概型中每個基本事出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事有無限個．
（5）古典概型與幾何概型的概率計算公式：
古典概型的概率計算公式： ．
幾何概型的概率計算公式： ．
兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．
�。�6）概率基本性質(zhì)與公式
①事 的概率 的范圍為： ．
②互斥事 與 的概率加法公式： ．
③對立事 與 的概率加法公式： ．
（7） 如果事A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，則它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率是pn(k) = Cpk(1?p)n?k. 實際上，它就是二項式[(1?p)+p]n的展開式的第k+1項.
（8）獨立重復(fù)試驗與二項分布
�、伲话愕兀谙嗤瑮l下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗．注意這里強調(diào)了三點：（1）相同條；（2）多次重復(fù)；（3）各次之間相互獨立；
�、冢椃植嫉母拍睿阂话愕�，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事A恰好發(fā)生k次的概率為 ．此時稱隨機變量 服從二項分布，記作 ，并稱 為成功概率．
統(tǒng)計
�。�1）三種抽樣方法
�、俸唵坞S機抽樣
簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個體的方法有兩種：放回和不放回．我們在抽樣調(diào)查中用的是不放回抽�。�
簡單隨機抽樣的特點：被抽取樣本的總體個數(shù)有限．從總體中逐個進行抽取，使抽樣便于在實踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應(yīng)用性．每一次抽樣時，每個個體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．
實施抽樣的方法：抽簽法：方法簡單，易于理解．隨機數(shù)表法：要理解好隨機數(shù)表，即表中每個位置上等可能出現(xiàn)0，1，2，…，9這十個數(shù)字的數(shù)表．隨機數(shù)表中各個位置上出現(xiàn)各個數(shù)字的等可能性，決定了利用隨機數(shù)表進行抽樣時抽取到總體中各個個體序號的等可能性．
�、谙到y(tǒng)抽樣
系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況．
系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個體均分后的每一段中進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣．
系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機的方式將總體中的個體編號；第二步，將總體的編號分段，要確定分段間隔 ，當(dāng) （Ｎ為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時， ；當(dāng) 不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體個數(shù)Ｎ能被n整除，這時 ；第三步，在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號，再按事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將加上間隔k得到第2個編號 ，將 加上k，得到第3個編號 ，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本．
�、鄯謱映闃�
當(dāng)總體由明顯差別的幾部分組成時，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣．
分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個數(shù)的比；第二步，計算出各層需抽取的個體數(shù)；第三步，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取個體；第四步，將各層中抽取的個體合在一起，就是所要抽取的樣本．
�。�2）用樣本估計總體
樣本分布反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布，有時也利用莖葉圖描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計總體分布，總體一定時，樣本容量越大，這種估計也就越精確．
①用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定一組數(shù)據(jù)進行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．
②莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數(shù)據(jù)位數(shù)較多時不夠方便．
�、燮骄鶖�(shù)反映了樣本數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準差反映了樣本數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的波動程度，其計算公式為 ． 有時也用標(biāo)準差的平方———方差代替標(biāo)準差，兩者實質(zhì)上是一樣的．
�。�3）兩個變量之間的關(guān)系
變量與變量之間的關(guān)系，除了確定性的函數(shù)關(guān)系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機性的相關(guān)關(guān)系．在本中，我們學(xué)習(xí)了一元線性相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關(guān)系的了解．分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時,我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘估計求出回歸直線方程．通常我們使用散點圖，首先把樣本數(shù)據(jù)表示的點在直角坐標(biāo)系中作出，形成散點圖．然后從散點圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系：如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，其對應(yīng)的方程叫做回歸直線方程．在本節(jié)要經(jīng)常與數(shù)據(jù)打交道，計算量大，因此同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用科學(xué)計算器．
�。�4）求回歸直線方程的步驟：
第一步：先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出 ；
第二步：計算回歸系數(shù)的a，b，公式為
第三步：寫出回歸直線方程 ．
（4）獨立性檢驗
① 列聯(lián)表：列出的兩個分類變量 和 ，它們的取值分別為 和 的樣本頻數(shù)表稱為 列聯(lián)表1
分類 1
2
總計
1
總計
構(gòu)造隨機變量 （其中 ）
得到 的觀察值 常與以下幾個臨界值加以比較：
如果 ，就有 的把握因為兩分類變量 和 是有關(guān)系；
如果 就有 的把握因為兩分類變量 和 是有關(guān)系；
如果 就有 的把握因為兩分類變量 和 是有關(guān)系；
如果低于 ，就認為沒有充分的證據(jù)說明變量 和 是有關(guān)系．
�、谌S柱形圖：如果列聯(lián)表1的三維柱形圖如下圖
由各小柱形表示的頻數(shù)可見，對角線上的頻數(shù)的積的差的絕對值
較大，說明兩分類變量 和 是有關(guān)的，否則的話是無關(guān)的．
重點：一方面考察對角線頻數(shù)之差，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機變量進行獨立性檢驗的思路方法。
�、鄱S條形圖（相應(yīng)于上面的三維柱形圖而畫）
由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數(shù)據(jù)可知 要比 小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量 和 有關(guān)系的可能性較大，兩個比值相差越大兩分類變量 和 有關(guān)的可能性也越的．否則是無關(guān)系的．
重點：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關(guān)，更重要的一方面是提供了構(gòu)造隨機變量進行獨立性檢驗的思想方法。
④等高條形圖（相應(yīng)于上面的條形圖而畫）
由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數(shù)據(jù)
要比 小得多，因此，說明兩分類變量 和 有關(guān)系的可能性較大，
否則是無關(guān)系的．
重點：直觀地看出在兩類分類變量頻數(shù)相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎(chǔ)上換一個角度理解。
【典型例題】
考點：概率
【內(nèi)容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對等可能性事的概率、互斥事的概率、獨立事的概率、事在n次獨立重復(fù)試驗中恰發(fā)生k次的概率、離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容都進行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計試題通常是通過對本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人教育的精神。
例1、在平面直角坐標(biāo)系 中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點，則落入E中的概率為 。
解：如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此 。
答案
點評：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。
例2某公交公司對某線路客情況統(tǒng)計顯示，公交車從每個�？奎c出發(fā)后，車上的乘客人數(shù)及頻率如下表：
人數(shù)0~67~1213~1819~2425~3031人以上
頻率0.10.150.250.200.200.1
（I）從每個�？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？
（II）全線途經(jīng)10個停靠點，若有2個以上（含2個）停靠點出發(fā)后，車上乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個班次，請問該線路需要增加班次嗎？
解：（Ⅰ）每個停靠點出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為
0.1+0.15+0.25+0.2=0.7
0. (Ⅱ)從每個停靠點出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為0.20+0.20+0.1=0.5
1.途經(jīng)10個停靠點，沒有一個�？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為
途經(jīng) 10個�？奎c，只有一個停靠點出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率
所以，途經(jīng)10個�？奎c，有2個以上（含2個）�？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率
P=1－ －C （ ）（1－ ）9=1－ =
∴該線路需要增加班次。
答：（Ⅰ）每個�？奎c出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為0.7
(Ⅱ) 該線路需要增加班次
考點四：統(tǒng)計
【內(nèi)容解讀】理解簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點及步驟．會用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會用樣本頻率分布估計總體分布．會用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征．會利用散點圖和線性回歸方程，分析變量間的相關(guān)關(guān)系；掌握獨立性檢驗的步驟與方法。
【命題規(guī)律】（1）概率統(tǒng)計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。
（2）概率統(tǒng)計試題通常是通過對本原題進行改編，通過對基礎(chǔ)知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問巧、并賦予時代氣息、貼近學(xué)生實際的問題。這樣的試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現(xiàn)了人教育的精神。
例3（1）（2009湖南卷） 一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中每個個體被抽到的概率都為 ，則總體中的個體數(shù)為 .
答案 120
解析 設(shè)總體中的個體數(shù)為 ，則
（2）（2009四川卷）設(shè)矩形的長為 ，寬為 ，其比滿足 ∶ ＝ ，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中。下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根據(jù)上述兩個樣本估計兩個批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準值0.618比較，正確結(jié)論是
A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準值更接近
B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準值更接近
C.兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準值接近程度相同
D.兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準值接近程度不能確定
答案 A
解析 甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613
例4下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生
產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)
3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a；
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準煤?
(參考數(shù)值：32．5+43+54+64．5=66.5)
解：(1)散點圖略.
(2) , , ,
由所提供的公式可得 ,故所求線性回歸方程為 10分
(3) 噸.
例5、為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列 的前四項，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列 的前六項．
(Ⅰ)求等比數(shù)列 的通項公式;
（Ⅱ)求等差數(shù)列 的通項公式；
(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生,試估計該校新生的近視率 的大小.
解：由題意知： ，
∵數(shù)列 是等比數(shù)列，∴公比
∴ .
∵ =13,
∴ ，
∵數(shù)列 是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列 公差為 ，則得，
∴ ＝87，
， ，
= ,
(或 = )
答:估計該校新生近視率為91%.
例6、某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日
晝夜溫差x(°C)1011131286
就診人數(shù)y(個)222529261612
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；(5分)
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ；(6分)
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)
(參考公式: )
解：(Ⅰ)設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事A.因為從6組數(shù)據(jù)中選
取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的
其中,抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種
所以
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得
由公式求得
再由
所以 關(guān)于 的線性回歸方程為
(Ⅲ)當(dāng) 時, , ；
同樣, 當(dāng) 時, ,
所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.
模擬演練
3.已知事 “三位中國選手均進入亞運會體操決賽”，事 “三位中國選手均未進入亞運會體操決賽”，那么事 和 是（ �。�
Ａ．等可能性事Ｂ．不互斥事
Ｃ．互斥但不是對立事Ｄ．對立事
3．C提示：根據(jù)兩事不能同時發(fā)生，且當(dāng)一個不發(fā)生時不一定發(fā)生另一個，因此兩事
是互斥但不是對立事.
4．若對于變量 與 的 組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù) ，又知殘差平方和為 ，那么 的值為（ ）。
A． B. C. D.
4.A提示：根據(jù) 表示總偏差平方和，得 .
5. ①既然拋擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次
拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某種彩票的中獎概
率為 ，那么買1000張這種彩票一定能中獎；③在乒乓球、排球等比賽中，裁判通過讓運
動員猜上拋均勻塑料圓板著地是正面還是反面決定哪一方先發(fā)球，這樣做不公平；④一個
骰子擲一次得到2的概率是 ，這說明一個骰子擲6次會出現(xiàn)一次2.其中不正確的說法是
（ ）
A ①②③④ B ①②④ C ③④ D ③
5. A提示：概率是一個隨即性的規(guī)律，具有不確定性，因此①②④錯誤，而③拋擲均勻塑料
圓板出現(xiàn)正面與方面的概率相等，是公平的.因此均為不正確的說法.
6.若 ，則方程 有實根的概率為（ ）
A． B. C. D.
6．C提示：若方程有實根，則有 .因為 ，根據(jù)幾何概型“有實根的”概率為 .
7. (專題七科第7題)
8.下圖是2010年渥太華冬奧會上，七位評委為某冰舞
運動員打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最低分和一
個最高分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．D提示:根據(jù)莖葉圖，所剩數(shù)據(jù)為 ，因此 ，
.
9．某高校調(diào)查詢問了56名男女大學(xué)生，在余時間是否參加運動，得到下表所示的數(shù)據(jù).
從表中數(shù)據(jù)分析，①有 以上的把握認為性別與是否參加運動有關(guān)；
②在100個參加運動的大學(xué)生中有95個男生；
③認為性別與是否參加運動有關(guān)出錯的可能性小于 ；
④在100個參加運動的大學(xué)生中有5個女生；其中正確命題的個數(shù)為（ ）.
A．1B．2C．3D．4
9．B提示：根據(jù) ，因此有95%以上的把握認為二者有關(guān)系，出錯的可能性小于5%.①③正確.
10.（(專題七科第10題)）
11. 2010年3月“十一屆全國人大三次會議及十一屆全國政協(xié)三次會議”在北京隆重召開，
針對中國的中學(xué)教育現(xiàn)狀，現(xiàn)場的2500名人大代表對其進行了綜合評分，得到如下“頻率
分布直方圖”（如圖），試根據(jù)頻率分布直方圖，估計平均分為（ ）.
A B C D
11．B提示：找到每個矩形的中點和頻率，從而利用平均數(shù)公式求解. 要注意頻率分布直方圖中每個小矩形面積表示該段的頻率.
12.(專題七科第12題)
13．半徑為10cm的圓周上有兩只螞蟻，它們分別從兩個不同的點A、B出發(fā)，沿劣弧相向而行，速度分別為10mm/s與8mm/s，則這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為 .
13. 提示：5s內(nèi)兩只螞蟻相遇時所行走的最大距離為 mm，而兩只螞蟻初始時的最大距離為半個圓周，即 mm，所以這兩只螞蟻在5s內(nèi)相遇的概率為 ．
14．（(專題七科第14題)）
15.已知現(xiàn)有編號為①②③④⑤的5個圖形,它們分別是兩個直角邊長為3、3的直角三角形；兩個邊長為3的正方形；一個半徑為3的圓.則以這些圖形中的三個圖形為一個立體圖形的三視圖的概率為 .
15. 提示：①②③；②③④； ③④⑤可構(gòu)成一個立體圖形的三視圖，而從這5個圖形選取3個共有 個基本事，因此概率為 .
16.隨著經(jīng)濟的發(fā)展，電腦進入了越越多的家庭，為了解電腦對生活的影響，就平均每天看電腦的時間，一個社會調(diào)查機構(gòu)對某地居民調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），為了分析該地居民平均每天看電視的時間與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層柚樣方法抽出100人做進一步調(diào)查，則在 （小時）時間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是 .
16. 提示：根據(jù)頻率分布直方圖可得，在 之間的人數(shù)為 ，根據(jù)分層抽樣特點得在 之間抽取的人數(shù)為 .
17.輸血是重要的搶救生命的措施之一，但是要注意同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．
黃種人群中各種血型的人所占的比如下表所示：
血型ABABO
該血型的人所占比/%2829835
2010年4月14日玉樹地震，小王不幸被建筑物壓在下面，失血過多，需要輸血，已知小王是B型血，問：
(1)任找一個人，其血可以輸給小王的概率是多少？
(2)任找一個人，其血不能輸給小王的概率是多少？
17.提示：（1）對任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事分別記為 它們是互斥的．
由已知，有 ．…………3分
因為B，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事 ．
根據(jù)互斥事的加法公式，有 ……6分．
（2）由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事
，且 ．…………10分
答：任找一人，其血可以輸給小明的概率為0.64，其血不能輸給小明的概率為0.36．
………12分
18.某研究機構(gòu)為了研究人的體重與身高之間的關(guān)系,隨機抽測了20人,得到如下數(shù)據(jù):
序 號12345678910
身高x(厘米)182164170176177159171166182166
體重y(公斤)76606176775862607857
序 號11121314151617181920
身高x(厘米)169178167174168179165170162170
體重y(公斤)76746877637859756473
(1)若“身高大于175厘米”的為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”；“體重大于75(公斤)”的為“胖子”，“體重小于等于75(公斤)”的為“非胖子”.請根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的 聯(lián)列表:
高 個非高個合 計
胖 子
非胖子12
合 計20
(2)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù),若按99%的可靠性要求,能否認為體重與身高之間有關(guān)系?
18.解:(1)
高個非高個合計
胖 子527
非胖子11213
合計61420
………4分
(2)假設(shè)兩變量沒有關(guān)系，依題題意
………8分
由表知: 認為體重與身高之間有關(guān)的可能性為 ………10分
所以有理由認為體重與身高之間有關(guān)系. ………12分
19.為從甲乙兩運動員中選拔一人，參加2010年廣州亞運會體操項目，對甲、乙兩運動員進行培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取6次，得出莖葉圖如下：
(1)現(xiàn)要從中選拔一人參加亞運會，從平均成績及發(fā)揮穩(wěn)定性的角度考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？
(2)從甲運動員預(yù)賽成績中任取一次記為 ,從乙運動員預(yù)賽成績中任取一次記為 ,求
的概率.
解：根據(jù)莖葉圖，可得甲乙成績?nèi)缦拢?br>甲817978959384
乙929580758385
…………1分
(1)派甲參賽比較合適.理由如下： …………2分
，
，…………3分
，
…………5分
∵ ， ，∴甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適.…………6分
（2）記“甲運動員預(yù)賽成績 ,大于乙運動員預(yù)賽成績 ”為事A，…………7分
列表:
甲\乙929580758385
81 81，9281，9581，8081，7581，8381，85
79 79，9279，9579，8079，7579，8379，85
7878，9278，9578，8078，7578，8378，85
9595，9295，9595，8095，7595，8395，85
9393，9293，9593，8093，7593，8393，85
8484，9284，9584，8084，7584，8384，85
因此基本事共有36個，其中發(fā)生事A的有17個，…………9分
根據(jù)古典概型， . …………10分
答：選擇甲參加比賽更合適， 的概率為 .………………………………………12分
20.設(shè) ，在線段 上任取兩點（端點 除外），將線段 分成了三條線段，
（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；
（2）若分成的三條線段的長度均為正實數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．
解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：
共3種情況，其中只有三條線段為 時能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率 ．………6分
（2）設(shè)其中兩條線段長度分別為 ，則第三條線段長度為 ，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為:
， ， ，
即： ， ，
所表示的平面區(qū)域為三角形 ；………8分
若三條線段 能構(gòu)成三角形，則還要滿足 ，即為 ，所表示的平面區(qū)域為三角形 ………10分
由幾何概型知，所求的概率為 ．………12分
21.下表抄錄了2010年1至4月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日 期1月10日2月10日3月10日4月10日
晝夜溫差x(°C)1113128
就診人數(shù)y(個)25292616
（1）已知兩變量 、 具有線性相關(guān)關(guān)系，求出 關(guān)于 的線性回歸方程 ；
（2）通過相關(guān)指數(shù)判斷回歸方程擬合效果.
解：（1）制表如下
1234合計
111312844
2529261696
2753773121281092
12116914464498
6258416762562398
； ；
………4分
根據(jù)兩變量 、 具有線性相關(guān)關(guān)系
由公式求得 ………6分
再由
所以 關(guān)于 的線性回歸方程為 ………8分
(2) ∵
………10分
∴ 因此擬合效果比較好.
………12分
22.為選拔學(xué)生做亞運會志愿者，對某班50名學(xué)生進行了一次體育測試，成績?nèi)拷橛?0與100之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組 ，第二組 ，……，第五組 ．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（I）若成績大于或等于60且小于80，認為合格，求該班在這次數(shù)學(xué)測試中成績合格的人數(shù)；
（II）從測試成績在 內(nèi)的所有學(xué)生中隨機抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測試成績分別為 、 ，求事“ ”的概率.
解：（I）由直方圖知，成績在 內(nèi)的人數(shù)為：
.
所以該班在這次數(shù)學(xué)測試中成績合格的有29人. ………4分
（II）由直方圖知，成績在 的人數(shù)為 ，設(shè)為 、 ，
成績在 的人數(shù)為 ，設(shè)為 ………6分
若 時，只有 1種情況，………7分
若 時，有 3種情況，………8分
若 分別在 和 內(nèi)時，有
xx
x
x
yy
y
y
共有6種情況.所以基本事總數(shù)為10種，………12分
事“ ”所包含的基本事個數(shù)有6種
∴P（ ） ………14分
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