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第九章　圓錐曲線與方程

高考導(dǎo)航

考試要求重難點擊命題展望
1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；
2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；
3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)；
4.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；
5.理解數(shù)形結(jié)合的思想；
6.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.　　本章重點：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法.
本章難點：1.對圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系.　　圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結(jié)合是高考�？碱}型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法運用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.

知識網(wǎng)絡(luò)


　9.1　橢　圓

典例精析
題型一　求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為453和
253，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程為x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【點撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點所在坐標(biāo)軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求橢圓中的a、b、c時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識.
【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C2的頂點在原點、焦點在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個點(每條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(biāo)(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下：

據(jù)此，可推斷橢圓C1的方程為　　　　　.
【解析】方法一：先將題目中的點描出來，如圖，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(xiàn)(3，－23).
通過觀察可知道點F，O，D可能是拋物線上的點.而A，C，E是橢圓上的點，這時正好點B既不在橢圓上，也不在拋物線上.
顯然半焦距b＝6，則不妨設(shè)橢圓的方程是x2m＋y26＝1，則將點
A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因為拋物線的解析式形式比橢圓簡單一些.
不妨設(shè)有兩點y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
則可知B(－2，0)，C(0，6)不是拋物線上的點.
而D(2，－22)，F(xiàn)(3，－23)正好符合.
又因為橢圓的交點在x軸上，故B(－2，0)，C(0，6)不 可能同時出現(xiàn).故選用A(－2,2)，E(22，2)這兩個點代入，可得橢圓的方程是x212＋y26＝1.
題型二　橢圓的幾何性質(zhì)的運用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).
【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，PF1＝m，PF2＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，
因為m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以 ＝12mnsin 60°＝33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸 長有關(guān).
【點撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點三角形，求解有關(guān)問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如PF1?PF2≤(PF1＋PF22)2，PF1≥a－c.
【變式訓(xùn)練2】已知P是橢圓x225＋y29＝1上的一點，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝14和圓
(x－4)2＋y2＝14上的點，則PQ＋PR的最小值是　　　　.
【解析】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓左、右焦點，則F1，F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心，
則PQ＋PR≥(PF1－12)＋(PF2－12)＝PF1＋PF2－1＝9.
所以PQ＋PR的最小值為9.
題型三　有關(guān)橢圓的綜合問題
【例3】(2010全國新課標(biāo))設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且 AF2，AB，BF2成等差數(shù)列.
(1)求E的離心率；
(2)設(shè)點P(0，－1)滿足PA＝PB，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知AF2＋BF2＋AB＝4a，
又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝43a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標(biāo)滿足方程組
化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因為直線AB斜率為1，所以AB＝2x2－x1＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的離心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2 )設(shè)AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由PA＝PB?kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1?c＝3.
從而a＝32，b＝3，故E的方程為x218＋y29＝1.
【變式訓(xùn)練3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若PF1PF2＝e，則e的值是(　　)
A.32B.33C.22D.63
【解析】設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準(zhǔn)線x＝－a2c，拋物線準(zhǔn)線為x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)?c2a2＝13?e＝33.故選B.
總結(jié)提高
1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，要確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會根據(jù)定義判定動點的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數(shù)進(jìn)行計算推理.
3.焦點三角形包含著很多關(guān)系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.2　雙曲線

典例精析
題型一　雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】已知動圓E與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：( x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設(shè)動圓E的半徑為r，則由已知AE＝r＋2，BE＝r－2，
所以AE－BE＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以AB＝8,22＜AB.
根據(jù)雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支.
因為a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故點E的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2).
【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.
【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線x29－y216＝1的右支上一點，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的點，則PM－PN的最大值為(　　)
A.6B.7C.8D.9
【解析】選D.
題型二　雙曲線幾何性質(zhì)的運用
【例2】雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使 ＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍.
【解析】設(shè)P(x，y)，則由 ＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即 (x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在雙曲線上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
當(dāng)x＝a時，P與A重合，不符合題意，舍去；
當(dāng)x＝2a3－ab2a2＋b2時，滿足題意的點P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　)
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故選C.
題型三　有關(guān)雙曲線的綜合問題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點.
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；
(2)若過點H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知x1＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，則有
直線A1P的方程為y＝y(tǒng)1x1＋2(x＋2)，①
直線A2Q的方程為y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：聯(lián)立①②解得交點坐標(biāo)為x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
則x≠0，x＜2.
而點P(x1，y1)在雙曲線x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：設(shè)點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2均不重合.故點A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(2，0)的直線l的方程為x＋2y－2＝0.
解方程組 得x＝2，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點A2.
故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，－1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)設(shè)過點H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)，
聯(lián)立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h(huán)2－12.
由于l1⊥l2，則k1k2＝－h(huán)2－12＝－1，故h＝3.
過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h(huán)2)＝－1，得h＝2.
此時，l1，l2的方程分別為y＝x＋2與y＝－x＋2，
它們與軌跡E分別僅有一個交點(－23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓(xùn)練3】雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于(　　)
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.
據(jù)題意設(shè)AF1＝x，則AB＝x，BF1＝2x.
由雙曲線定義有AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a
?(AF1＋BF1)－(AF2＋BF2)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝AF1.
故在Rt△AF1F2中可求得AF2＝F1F22－AF12＝4c2－8a2.
又由定義可得AF2＝AF1－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
兩邊平方整理得c2＝a2(5－22)?c2a2＝e2＝5－22，故選D.
總結(jié)提高
1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.
2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)PF1－PF2＝2a＜F1F2時，P的軌跡是雙曲線；當(dāng)PF1－PF2＝2a＝F1F2時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線；當(dāng)
PF1－PF2＝2a＞F1F2時，P無軌跡.
3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；
(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝±bax，可將雙曲線方程設(shè)為x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實質(zhì)是待定系數(shù)法.


9.3　拋物線

典例精析
題型一　拋物線定義的運用
【例1】根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線過點P(2，－4)；
(2)拋物線焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5.
【解析】(1)設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny.
將點P坐標(biāo)代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)設(shè)A(m，－3)，所求焦點在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)，
由定義得5＝AF＝m＋p2，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點，另一點A(a,0) (a＞0)滿足P A＝d，試求d的最小值.
【解析】設(shè)P(x0，y0) (x0≥0)，則y20＝2x0，
所以d＝PA＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因為a＞0，x0≥0，
所以當(dāng)0＜a＜1時，此時有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
當(dāng)a≥1時，此時有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
題型二　直線與拋物線位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數(shù)m，對 于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 ＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【解析】(1)設(shè)P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化簡得y2＝4x(x＞0).
(2)設(shè)過點M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設(shè)l的方程為x＝ty＋m，由 得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ①
又 ＝(x1－1，y1)， ＝(x2－1，y2).
＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y(tǒng)24，于是不等式②等價于 y214?y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
?(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2.④
對任意實數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正數(shù)m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 ? ＜0，且m的取值范圍是(3－22，3＋22).
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，則1y1＋1y2＝　　　.
【解析】 ?y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y(tǒng)1＋y2y1y2＝12.
題型三　有關(guān)拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C：y ＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交 C于點N.
(1)求證：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
(2)是否存在實數(shù)k使 ? ＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設(shè)A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韋達(dá)定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以點N的坐標(biāo)為(k4，k28).
設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y－k28＝m(x－k4)，
將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4 －k28＝0，
因為直線l與拋物線C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假設(shè)存在實數(shù)k，使 ? ＝0，則NA⊥NB，
又因為M是AB的中點，所以MN＝ AB.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因為MN⊥x軸，所以MN＝y(tǒng)M－yN＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又AB＝1＋k2?x1－x2＝1＋k2?(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2?(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1?k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1?k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使 ? ＝0.
【點撥】直線與拋 物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；有關(guān)拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須使用一般弦長公式.
【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個動點，過點P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點分別為M、N，則MN的最小值是　　　　.
【解析】455.
總結(jié)提高
1.在拋物線定義中，焦點F不在準(zhǔn)線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì)：(1)頂點、焦點在對稱軸上；(2)準(zhǔn)線垂直于對稱軸；(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為p；(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.
3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數(shù)法.
4.拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：AB＝x1＋x2＋p或AB＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.

　9.4　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

典例精析
題型一　直線與圓錐曲線交點問題
【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值.
【解析】聯(lián)立方程組
(1)當(dāng)a＝0時，方程組恰有一組解為
(2)當(dāng)a≠0時，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程變?yōu)橐辉�一次方程－y－1＝0，
方程組恰有一組解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝ －45，這時直線與曲線相切，只有一個公共點.
綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【點撥】本題設(shè)計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認(rèn)為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數(shù) ＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后，應(yīng)從幾何上驗證一下：①當(dāng)a＝0時，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時與已知直線y＝x－1 恰有交點(1,0)；②當(dāng)a＝－1時，直線y＝－1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數(shù)為零)；③當(dāng)a＝－45時直線與拋物線相切.
【變式訓(xùn)練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍為(　　)
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由 ?(1－k2)x2－2kx－5＝0，
?k＝±52，結(jié)合直線過定點(0，－1)，且漸近線斜率為±1，可知答案為A.
題型二　直線與圓錐曲線的相交弦問題
【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°， ＝2 .
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果AB＝154，求橢圓C的方程.
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線l的方程為y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
聯(lián)立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因為 ＝2 ，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2?－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得離心率e＝ca＝23.
(2)因為AB＝1＋13y2－y1，所以23?43ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以橢圓的方程為x29＋y25＝1.
【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.
【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2＋ by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為32，則ab的值為　　　.
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標(biāo)為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0?
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0?ax0－by0＝0.
故ab＝y(tǒng)0x0＝32.
題型三　對稱問題
【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
【解析】設(shè)A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點，由題意知k≠0.
設(shè)直線AB的方程為y＝－1kx＋b，
聯(lián)立 消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由題意有Δ＝12＋4?14k?b＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1k?x1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中點為E(k(2k＋b)，－2k).
因為l過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0?k3＋2k＋3k3＜0
?k(k＋1)(k2－k＋3)＜0?－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0).
【點撥】(1)本題的關(guān)鍵是對稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂 直，且線段AB的中點坐標(biāo)滿足l的方程；
(2)對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數(shù)表示弦中點的坐標(biāo)，利用中點在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.
【變式訓(xùn)練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于x＋y＝0對稱的兩點A，B，則AB等于(　　)
A.3B.4C.32D.42
【解析】設(shè)AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中點為(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以AB＝32，故選C.
總結(jié)提高
1.本節(jié)內(nèi)容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點問題的處理方法.
2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論，即聯(lián)立方程組
通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進(jìn)行討論.這時要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.
3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差法時，要特別注意驗證“相交”的情形.

9.5　圓錐曲線綜合問題

典例精析
題型一　求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點M.
(1)求證：l1⊥l2；
(2)求點M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋12.
聯(lián)立 消去y整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B的坐標(biāo)為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝12x2，求導(dǎo)得y′＝x.
所以過點A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點B的切線l2的斜率是k2＝x2.
因為k1k2 ＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直線l2的方程為y－x222＝x2(x－x2).
聯(lián)立這兩個方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此時y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以點M的軌跡方程是y＝－12.
【點撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對應(yīng)關(guān)系了如指掌.
【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是(　　)
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如圖，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，
所以CA－CB＝8－2＝6，
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29－y216＝1(x＞3)，故選C.
題型二　圓錐曲線的有關(guān)最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC＝60°時，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n.
由 得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因為A，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
設(shè)A，C兩點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝n2.
因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝CA.
所以菱形ABCD的面積S＝32AC2.
又AC2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16) (－433＜n＜433).
所以當(dāng)n＝0時，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點B(－1,0)和兩個動點P、Q，若BP⊥PQ，則點Q橫坐標(biāo)的取值范圍是　　　　　　.
【解析】如圖，B(－1,0)，設(shè)P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBP?kPQ＝－1，得x2P－1xP＋1?x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因為xP－1＋1xP－1≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
題型三　求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線l：x－my－m22＝0，橢圓C：x2m2＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點.
(1)當(dāng)直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)因為直線l：x－my－m22＝0經(jīng)過F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因為m＞1，所以m＝2.
故直線l的方程為x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
則由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點，
由 ＝2 ， ＝2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
GH2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
設(shè)M是GH的中點，則M(x1＋x26，y1＋y26)，
由題意可知，2MO＜GH，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因為m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范圍是(1,2).
【點撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個頂點A與雙曲線右頂點重合，則a的取值范圍為　　　.
【解析】設(shè)B(m，m2－1a)，則C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).
總結(jié)提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學(xué)們的一大難點.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.
2.最值問題的代數(shù)解法，是從動態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.

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