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j.Co M
第3節(jié) 圓周運(yùn)動(dòng)及其運(yùn)用
【考綱知識(shí)梳理】
一、描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量及其相互關(guān)系
1、定義：質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，如果在相等的時(shí)間里通過的圓弧長度相等，這種運(yùn)動(dòng)就叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
2、描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量：
（1）線速度：
①線速度的大小等于質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)通過的弧長跟通過這段弧長所用時(shí)間的比值。
②線速度的方向就是在圓周該點(diǎn)的切線方向上。
③線速度的定義與第二章速度的定義，從字面上看似乎是不同的，實(shí)質(zhì)上并沒有差別，因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)中線速度的概念是瞬時(shí)速度的概念。在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，速度的大小不變，平均速率與瞬時(shí)速率相等，那么，弧長與對應(yīng)時(shí)間的比值，在數(shù)值上就反映了瞬時(shí)速度的大小。
（2）角速度：
①角速度是描述圓周運(yùn)動(dòng)的特有概念。角速度的定義為：連接運(yùn)動(dòng)物體和圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度跟所用時(shí)間的比，叫做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。
②在國際單位中，角速度的單位是弧度每秒，符號是 。要特別指出提，只有角速度以 為單位時(shí)，才有 的關(guān)系。
（3）周期
①周期：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期。
②轉(zhuǎn)速：所謂轉(zhuǎn)速，是指做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體每秒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。當(dāng)轉(zhuǎn)速的單位為 時(shí)，它和角速度的關(guān)系為 ；當(dāng)轉(zhuǎn)速的單位為 時(shí)，它和角速度的關(guān)系為 。
（4）向心力
①向心力的方向總是與物體運(yùn)動(dòng)的方向垂直，總是沿著半徑指賂圓心。向心力的作用只是改變速度的方向。
②向心力的大小為
或
（5）向心加速度
①定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在向心力的作用下產(chǎn)生的指向圓心的加速度，叫做向心加速度。
②向心加速度的大小為
或
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)與非勻速圓周運(yùn)動(dòng)
1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)
（1）特點(diǎn)：線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不變的．
（2）．性質(zhì)：是速度大小不變而速度方向時(shí)刻在變的變速曲線運(yùn)動(dòng)，并且是加速度大小不變、方向時(shí)刻變化的變加速曲線運(yùn)動(dòng)．
（3）．加速度和向心力：由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)僅是速度方向變化而速度大小不變，故僅存在向心加速度，因此向心力就是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受外力的合力．
（4）質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件：合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
2、非勻速圓周運(yùn)動(dòng)
（1）非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，不僅線速度大小、方向時(shí)刻在改變，而且加速度的大小、方向也時(shí)刻在改變，是變加速曲線運(yùn)動(dòng)（注：勻速圓周運(yùn)動(dòng)也是變加速運(yùn)動(dòng)）．
非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合力一般不指向圓心，非勻速圓周運(yùn)動(dòng)所受的合外力產(chǎn)生兩個(gè)效果．
（2）半徑方向的分力：產(chǎn)生向心加速度而改變速度方向．
（3）切線方向的分力：產(chǎn)生切線方向加速度而改變速度大�。�
故利用公式求圓周上某一點(diǎn)的向心力和向心加速度的大小，必須用該點(diǎn)的瞬時(shí)速度值．
三、離心運(yùn)動(dòng)與向心運(yùn)動(dòng)
1．定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受外力突然消失或者不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)叫做離心運(yùn)動(dòng)。
2、做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，離心現(xiàn)象條件的分析
（1）當(dāng) 時(shí)，物體被限制著沿圓周運(yùn)動(dòng)。
（2）當(dāng) 時(shí)，物體便沿所在位置的切線方向飛出去。
（3）當(dāng) 時(shí)，物體沿切線和圓周之間的一條曲線運(yùn)動(dòng)。
3、當(dāng) 時(shí)，物體離圓心將越來越近，即做向心運(yùn)動(dòng)。
【要點(diǎn)名師透析】
一、在傳動(dòng)裝置中各物理量之間的關(guān)系
在分析傳動(dòng)裝置的物理量時(shí)，要抓住不等量和相等量的關(guān)系，表現(xiàn)為：
1.同一轉(zhuǎn)軸的各點(diǎn)角速度ω相同，而線速度v=ωr與半徑r成正比，向心加速度大小a=rω2與半徑r成正比.
2.當(dāng)皮帶不打滑時(shí)，傳動(dòng)皮帶、用皮帶連接的兩輪邊沿上的各點(diǎn)線速度大小相等，由 可知,ω與r成反比,由 可知,a與r成反比.
【例1】 (2011?湛江模擬)如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機(jī)的上端有一半徑r0=1.0 cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊沿接觸.當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因摩擦而帶動(dòng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)，從而為發(fā)電機(jī)提供動(dòng)力.自行車車輪的半徑R1=35 cm，小齒輪的半徑R2=4.0 cm，大齒輪的半徑R3=10.0 cm.求大齒輪的轉(zhuǎn)速n1和摩擦小輪的轉(zhuǎn)速n2之比.(假定摩擦小輪與自行車車輪之間無相對滑動(dòng))
【答案】2∶175
【詳解】大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間和皮帶傳動(dòng)原理相同，兩輪邊沿各點(diǎn)的線速度大小相等，由v=2πnr可知轉(zhuǎn)速n和半徑r成反比；小齒輪和車輪同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輪上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)速相同.大齒輪與小齒輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為:n1∶n小=R2∶R3.車輪與小齒輪之間的轉(zhuǎn)速關(guān)系為:n車=n小.車輪與摩擦小輪之間的關(guān)系為:n車∶n2=r0∶R1.由以上各式可解出大齒輪和摩擦小輪之間的轉(zhuǎn)速之比為:n1∶n2=2∶175.
二、用動(dòng)力學(xué)方法解決圓周運(yùn)動(dòng)中的問題
1.向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力.
2.向心力的確定
(1)確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面，確定圓心的位置.
(2)分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力.
3.解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的主要步驟
(1)審清題意，確定研究對象；
(2)分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等；
(3)分析物體的受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；
(4)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及向心力公式列方程；
(5)求解、討論.
【例2】(2011?福州模擬)小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試分析圖中的θ(小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角)與線速度v、周期T的關(guān)系.(小球的半徑遠(yuǎn)小于R)
【詳解】小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力FN的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平.如圖所示,有:
mgtanθ= =mRsinθω2,
由此可得： (式中h為小球軌道平面到球心的高度)可見，θ越大(即軌跡所在平面越高)，v越大，T越小.
三、豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題分析
豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的特點(diǎn)是：由于機(jī)械能守恒，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)刻在改變.常分析兩種模型??輕繩模型和輕桿模型，分析比較如下：
注意： (1)繩模型和桿模型過最高點(diǎn)的臨界條件不同.其原因是：繩只能有拉力，不能承受壓力，而桿既能有拉力，也能承受壓力.
(2)對于豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題，經(jīng)常是綜合考查牛頓第二定律、機(jī)械能守恒及功能關(guān)系等知識(shí)的綜合性問題.
【例3】如圖所示，放置在水平地面上的支架質(zhì)量為M，支架頂端用細(xì)線拴著的擺球質(zhì)量為m，現(xiàn)將擺球拉至水平位置，而后釋放，擺球運(yùn)動(dòng)過程中，支架始終不動(dòng)，以下說法正確的是( )
A.在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為(m＋M)g
B.在釋放前的瞬間，支架對地面的壓力為Mg
C.擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，支架對地面的壓力為(m＋M)g
D.擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，支架對地面的壓力為(3m＋M)g
【答案】選B、D.
【詳解】在釋放前的瞬間繩拉力為零,對M：對地面的壓力F=Mg；
當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒得 ①
由牛頓第二定律得： ②
由①②得繩對小球的拉力FT=3mg
對支架M由受力平衡，地面支持力FN=Mg＋3mg
由牛頓第三定律知，支架對地面的壓力FN2＝3mg＋Mg，故選項(xiàng)B、D正確.
【感悟高考真題】
1.（2011.安徽高考）一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲線上的A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個(gè)圓就叫做A點(diǎn)的曲率圓，其半徑ρ叫做A點(diǎn)的曲率半徑�，F(xiàn)將一物體沿與水平面成α角的方向已速度υ0拋出，如圖（b）所示。則在其軌跡最高點(diǎn)p處的曲率半徑是
A. B.
C. D.
【答案】選C.
【詳解】物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)速度即為斜上拋的水平速度 ，最高點(diǎn)重力提供向心力 ，由兩式得 。
2.（2011?海南物理?T15）如圖，水平地面上有一個(gè)坑，其豎直截面為半圓。ab為沿水平方向的直徑。若在a點(diǎn)以初速度 沿ab方向拋出一小球， 小球會(huì)擊中坑壁上的c點(diǎn)。已知c點(diǎn)與水平地面的距離為圓半徑的一半，求圓的半徑。
【答案】
【詳解】如圖所示， ，則
小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移
豎直位移
根據(jù) ，
聯(lián)立以上兩式解得
3. （2010?上海理綜）8．如圖是位于錦江樂園的摩天輪，高度為108m，直徑是98m。一質(zhì)量為50kg的游客乘坐該摩天輪做勻速圓周運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)一圈需25min。如果以地面為零勢能面，則他到達(dá)最高處時(shí)的（取g=10m/s2）（ ）。
A．重力勢能為5.4×104J，角速度為0.2rad/s
B．重力勢能為4.9×104J，角速度為0.2rad/s
C．重力勢能為5.4×104J，角速度為4.2×10-3rad/s
D．重力勢能為4.9×104J，角速度為4.2×10-3rad/s
答案：C
4.（2010?江蘇卷）14. (16分)在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論。如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg的指點(diǎn)， 選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此事繩與豎直方向夾角 = ，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深。取中立加速度 ， ，
求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對繩拉力的大小F；
若繩長l=2m, 選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)松手落入手中。設(shè)水碓選手的平均浮力 ，平均阻力 ，求選手落入水中的深度 ；
若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手， 小明認(rèn)為繩越長，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，請通過推算說明你的觀點(diǎn)。
【解析】（1）機(jī)械能守恒 ①
圓周運(yùn)動(dòng)F′－mg＝m
解得F′＝（3－2cos ）mg
人對繩的拉力F＝F′
則F＝1080N
（2）動(dòng)能定理 mg（H－lcos ＋d）－（f1＋f2）d＝0
則d=
解得
(3)選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)x=vt
H-l=
且有①式
解得
當(dāng) 時(shí)，x有最大值，解得l=1.5m
因此，兩人的看法均不正確。當(dāng)繩長鉞接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)。
本題考查機(jī)械能守恒，圓周運(yùn)動(dòng)向心力，動(dòng)能定理，平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及求極值問題。
難度：較難。
5. （2010?重慶卷）24.（18分）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地。如題24圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為 d,重力加速度為g。忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力。
（1）求繩斷時(shí)球的速度大小 和球落地時(shí)的速度大小 。
（2）向繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？
解析：
（1）設(shè)繩段后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有
豎直方向 ，水平方向
得
由機(jī)械能守恒定律，有
得
（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小。
球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有
得
（3）設(shè)繩長尾l，繩斷時(shí)球的速度大小為 ，繩承受的最大推力不變，
有 得
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為 ，水平位移為x，時(shí)間為
有
得
當(dāng) 時(shí)， 有極大值，
6.（09?上海?43）右圖為一種早期的自行車，這種下帶鏈條傳動(dòng)的自行車前輪的直徑很大，這樣的設(shè)計(jì)在當(dāng)時(shí)主要是為了 （ A ）
A.提高速度 B.提高穩(wěn)定性
C.騎行方便 D.減小阻力
7. (09?廣東文科基礎(chǔ)?57) 圖7所示是一個(gè)玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三個(gè)點(diǎn)。當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列表述正確的是 （ B ）
A．a(chǎn)、b和c三點(diǎn)的線速度大小相等 B．a(chǎn)、b和c三點(diǎn)的角速度相等
C．a(chǎn)、b的角速度比c的大 D．c的線速度比a、b的大
8.（09?安徽?24）（20分）過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑 、 。一個(gè)質(zhì)量為 kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以 的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距 m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù) ，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取 ，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位
數(shù)字。試求
（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大��；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距 應(yīng)是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑 應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn) 的距離。
答案：（1）10.0N；（2）12.5m(3) 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，
解析：（1）設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1根據(jù)動(dòng)能定理
①
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律
②
由①②得 ③
（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理
解得
為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足
解得 R3=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件
或
當(dāng) 時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則
當(dāng) 時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L?，則
9.（09?浙江?24）（18分）某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不記。圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作多長時(shí)間？（取g=10 ）
答案：2.53s
解析：本題考查平拋、圓周運(yùn)動(dòng)和功能關(guān)系。
設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v1，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
解得
設(shè)賽車恰好越過圓軌道，對應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v2，最低點(diǎn)的速度為v3，由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律
解得 m/s
通過分析比較，賽車要完成比賽，在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是
m/s
設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間至少為t，根據(jù)功能原理
由此可得 t=2.53s
10.（09?四川?25） (20分)如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P,其質(zhì)量m=2×10-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s豎直向下射出小球P,小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O1點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s2。那么，
（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
（2）請通過計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。
(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角)。
解析：（1）設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　①
代入數(shù)據(jù)，得：W＝ J　　　　　　　　　　　　　　　 �、�
（2）由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v1和V，并令水平向右為正方向，有: ③
而： 　　　　　　　　　　　　　　　　 ④
若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得VP、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過的時(shí)間為 ，P經(jīng)過的時(shí)間為 。設(shè)此時(shí)N的速度V1的方向與水平方向的夾角為 ，有：
　　　　　　　 ⑥
　　　　　　　　　　　 　 ⑦
代入數(shù)據(jù)，得： 　　　　　　　　　　 ⑧
對小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：
　　　　　　　　　　　　　 　 ⑨
經(jīng)計(jì)算得： ＜T，
P經(jīng)過 時(shí)，對應(yīng)的圓心角為 ，有： 　　　 ⑩
當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：
聯(lián)立相關(guān)方程得：
比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同。
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有： ，
同上得： ，
比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同。
（3）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同， ，
再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：
當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同 ，
同理得： ，
考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有:
（給定的B、q、r、m、 等物理量決定n的取值）
11.（09?廣東物理?17）（20分）（1）為了清理堵塞河道的冰凌，空軍實(shí)施了投彈爆破，飛機(jī)在河道上空高H處以速度v0水平勻速飛行，投擲下炸彈并擊中目標(biāo)。求炸彈剛脫離飛機(jī)到擊中目標(biāo)所飛行的水平距離及擊中目標(biāo)時(shí)的速度大小。（不計(jì)空氣阻力）
（2）如圖17所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半。內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊。求
①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大小；
②當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的 角速度。
解析：⑴炸彈作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)炸彈脫離飛機(jī)到擊中目標(biāo)所飛行的水平距離為x,
聯(lián)立以上各式解得
設(shè)擊中目標(biāo)時(shí)的豎直速度大小為vy，擊中目標(biāo)時(shí)的速度大小為v
聯(lián)立以上各式解得
⑵①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡條件得
摩擦力的大小
支持力的大小
②當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，物塊在筒壁A點(diǎn)時(shí)受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 有
由幾何關(guān)系得
聯(lián)立以上各式解得
【考點(diǎn)模擬演練】
1.關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說法，正確的是( )
A.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體沒有加速度
B.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻都在改變，所以必有加速度
C.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速(曲線)運(yùn)動(dòng)
D.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度大小雖然不變，但加速度的方向始終指向圓心，加速度的方向時(shí)刻都在改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)既不是勻速運(yùn)動(dòng)，也不是勻變速運(yùn)動(dòng)
【答案】選B、D.
【詳解】速度和加速度都是矢量，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻在改變，速度時(shí)刻發(fā)生變化，必然具有加速度.加速度大小雖然不變，但方向時(shí)刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng).故本題選B、D.
2.如圖所示，天車下吊著兩個(gè)質(zhì)量都是m的工件A和B，系A(chǔ)的吊繩較短，系B的吊繩較長.若天車運(yùn)動(dòng)到P處突然停止，則兩吊繩所受的拉力FA和FB的大小關(guān)系為( )
A.FA>FB B.FAC.FA=FB=mg D.FA=FB>mg
【答案】選A.
【詳解】天車運(yùn)動(dòng)到P處突然停止后，A、B各以天車上的懸點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，線速度相同而半徑不同，由 ，得： ，因?yàn)閙相等，v相等，而LAFB，A選項(xiàng)正確.
3．如圖所示是一種娛樂設(shè)施“魔盤”，而且畫面反映的是魔盤旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速較大時(shí)，盤中人的情景．甲、乙、丙三位同學(xué)看了圖后發(fā)生爭論，甲說：“圖畫錯(cuò)了，做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到向心力的作用，魔盤上的人應(yīng)該向中心靠攏”．乙說：“圖畫得對，因?yàn)樾�轉(zhuǎn)的魔盤給人離心力，所以人向盤邊緣靠攏．”丙說：“圖畫得對，當(dāng)盤對人的摩擦力不能滿足人做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí)，人會(huì)逐漸遠(yuǎn)離圓心．”該三位同學(xué)的說法應(yīng)是
(　　)
A．甲正確　　B．乙正確　　C．丙正確　　D．無法判斷
【答案】C
【詳解】人在水平魔盤上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，靜摩擦力提供向心力，轉(zhuǎn)速增大到一
定值，最大靜摩擦力不足以提供向心力，人將做離心運(yùn)動(dòng)，所以丙的說法正確．
4．一小球用一不可伸縮且柔軟的輕繩拉著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，下面說法中正確的是
(　　)
A．小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．小球的機(jī)械能一定守恒
C．小球的向心加速度的大小一定是變化的
D．小球的向心加速度的大小一定是不變的
【答案】BC
【詳解】不計(jì)空氣阻力，輕繩的拉力不做功，因此小球的機(jī)械能守恒，高度增大時(shí)速度減小，A錯(cuò)B對；小球的向心加速度a＝v2R隨速度的變化而變化，C正確D錯(cuò)．考查圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度、機(jī)械能守恒等知識(shí)點(diǎn)，本題較易．
5．中央電視臺(tái)《今日說法》欄目報(bào)道了一起發(fā)生在湖南長沙某區(qū)湘府路上的離奇交通事故．家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個(gè)月內(nèi)連續(xù)遭遇七次大卡車側(cè)翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖撞進(jìn)李先生家，造成三死一傷和房屋嚴(yán)重?fù)p毀的血腥慘案．經(jīng)公安部門和交通部門協(xié)力調(diào)查，畫出的現(xiàn)場示意圖如圖14所示．交警根據(jù)圖示作出以下判斷，你認(rèn)為正確的是
(　　)
A．由圖可知汽車在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鲭x心運(yùn)動(dòng)
B．由圖可知汽車在拐彎時(shí)發(fā)生側(cè)翻是因?yàn)檐囎鱿蛐倪\(yùn)動(dòng)
C．公路在設(shè)計(jì)上可能內(nèi)(東)高外(西)低
D．公路在設(shè)計(jì)上可能外(西)高內(nèi)(東)低
【答案】AC
【詳解】汽車進(jìn)入民宅，遠(yuǎn)離圓心，因而車作離心運(yùn)動(dòng)，A對，B錯(cuò)．汽車在水平公路上拐彎時(shí)，靜摩擦力提供向心力，此處，汽車以與水平公路上相同速度拐彎，易發(fā)生側(cè)翻，摩擦力不足以提供向心力；也可能是路面設(shè)計(jì)不太合理，內(nèi)高外低．重力沿斜面方向的分力背離圓心而致，C對，D錯(cuò)．
6．如圖所示為某一皮帶傳動(dòng)裝置．主動(dòng)輪的半徑為r1，從動(dòng)輪的半徑為r2.已知主動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是(　　)
A．從動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)
B．從動(dòng)輪做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)
C．從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為r1r2n
D．從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為r2r1n
【答案】BC
【詳解】因?yàn)橹鲃?dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，從動(dòng)輪通過皮帶的摩擦力帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以從動(dòng)輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，A錯(cuò)誤，B正確；由于通過皮帶傳動(dòng)，皮帶與輪邊緣接觸處的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為n2＝nr1r2，C正確，D錯(cuò)誤．
7．皮帶傳送機(jī)傳送礦石的速度v大小恒定，在輪緣A處礦石和皮帶恰好分離，如圖所示．若輪子的半徑為R，則通過A點(diǎn)的半徑OA和豎直方向OB的夾角θ為(　　)
A．a(chǎn)rcsin v2Rg B．a(chǎn)rccot v2Rg
C．a(chǎn)rctan v2Rg D．a(chǎn)rccos v2Rg
【答案】D
【詳解】礦石和皮帶分離時(shí)兩者之間的彈力為零，將重力沿半徑OA方向和垂直于OA的方向分解，有mgcos θ＝mv2R，則θ＝arccos v2Rg，D正確．
8．如圖所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)．圓環(huán)半徑為R，小球經(jīng)過圓環(huán)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點(diǎn)時(shí)(　　)
A．小球?qū)�圓環(huán)的壓力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于0
C．小球的線速度大小等于gR
D．小球的向心加速度大小等于g
【答案】　CD
【詳解】小球在最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，則圓環(huán)剛好對小球沒有作用力，小球只受重力作用，重力豎直向下且過圓心，根據(jù)牛頓第二定律得小球的向心加速度大小為a＝mgm＝g，此時(shí)小球滿足mg＝mv2R，得v＝gR.
9.(2011?惠州模擬)甲、乙兩名溜冰運(yùn)動(dòng)員，面對面拉著彈簧測力計(jì)做圓周運(yùn)動(dòng).已知M甲=80 kg，M乙=40 kg，兩人相距0.9 m，彈簧測力計(jì)的示數(shù)為96 N，下列判斷中正確的是
( )
A.兩人的線速度相同，約為40 m/s
B.兩人的角速度相同，為2 rad/s
C.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑相同，都是0.45 m
D.兩人的運(yùn)動(dòng)半徑不同，甲為0.3 m，乙為0.6 m
【答案】選B、D.
【詳解】兩人旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間相同，故兩人的角速度相同，兩人做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力相同，由F=mω2r可知，旋轉(zhuǎn)半徑滿足：r甲∶r乙=M乙∶M甲=1∶2，又r甲＋r乙=0.9 m，則r甲=0.3 m，r乙=0.6 m.兩人的角速度相同，則v甲∶v乙=1∶2.由F=M甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故選項(xiàng)B、D正確.
10.如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，管道內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是( )
A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度
B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度vmin=0
C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力
D.小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對小球一定有作用力
【答案】選B、C.
【詳解】小球沿管上升到最高點(diǎn)的速度可以為零，故A錯(cuò)誤，B正確；小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由外側(cè)管壁對小球的作用力FN與球重力在背離圓心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即： ，因此，外側(cè)管壁一定對球有作用力，而內(nèi)側(cè)管壁無作用力，C正確；小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球受管壁的作用力與小球速度大小有關(guān)，D錯(cuò)誤.
11．如圖所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內(nèi)壁A點(diǎn)的高度為筒高的一半，內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊．求：
(1)當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大�。�
(2)當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．
【答案】(1)HR2＋H2mg　RR2＋H2mg　(2)2gHR
【詳解】(1)如圖所示，當(dāng)圓錐筒靜止時(shí)，物塊受到重力mg、摩擦力Ff和支持力FN.由題意可知：
Ff＝mgsin θ＝HR2＋H2mg，①
FN＝mgcos θ＝RR2＋H2mg.②
(2)物塊受到重力和支持力的作用，設(shè)圓筒和物塊勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，
豎直方向FNcos θ＝mg，③
水平方向FNsin θ＝mω2r，④
聯(lián)立③④，得ω＝grtan θ，其中tan θ＝HR，r＝R2，
ω＝2gHR.
12．如圖所示，把一個(gè)質(zhì)量m＝1 kg的物體通過兩根等長的細(xì)繩與豎直桿上A、B兩個(gè)固定點(diǎn)相連接，繩a、b長都是1 m，AB長度是1.6 m，直桿和球旋轉(zhuǎn)的角速度等于多少時(shí)，b繩上才有張力？
【答案】ω>3.5 rad/s
【詳解】已知a、b繩長均為1 m，即
Am＝Bm＝1 m，AO＝12AB＝0.8 m
在△AOm中，cos θ＝AOAm＝0.81＝0.8，
sin θ＝0.6，θ＝37°
小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
r＝Om＝Am?sin θ＝1×0.6 m＝0.6 m.
b繩被拉直但無張力時(shí)，小球所受的重力mg與a繩拉力FTa的合力F為向心力，其受力分析如圖所示，由圖可知小球的向心力為
F＝mgtan θ
根據(jù)牛頓第二定律得
F＝mgtan θ＝mr?ω2
解得直桿和球的角速度為
ω＝gtan θr＝10×cos 37°0.6 rad/s＝3.5 rad/s.
當(dāng)直桿和球的角速度ω>3.5 rad/s時(shí)，b中才有張力．


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