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第五章 二元一次方程組
5.1認(rèn)識(shí)二元一次方程組
專題 二元一次方程組解的規(guī)律探究
1. 下表反映了按一定規(guī)律排列的方程組和它們的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
方程組的序號(hào)方程組1方程組2方程組3…方程組n
（n為正整數(shù)）
方程組
…
方程組的解
…
（1）寫出方程組1的求解過程；
（2）請(qǐng)依據(jù)方程組和它們的解的變化規(guī)律，直接寫出方程組n和它的解．（n為正整數(shù)）
2. 下列是按一定的規(guī)律排列的方程組和它的解的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖，若方程組集合中的方程組自左向右依次記作方程組1，方程組2，方程組3，…，方程組n.
（1）將方程組1的解填入圖中；
（2）請(qǐng)依據(jù)方程組和它的解的變化規(guī)律，將方程組n和它的解直接填入集合圖中（注意：1-n2=(1+n)(1-n)；
（3）若方程組 的解是 求的值，并判斷該方程組是否符合題中的規(guī)律．
答案：
1．解：（1）2x＋y＝3 ①x-2y＝4 ②，
由②得x=2y+4．③
把③代入①，得2(2y+4)+y=3．
解得y=-1．
把y=-1代入③,得x=2．
所以方程組1的解為
（2）方程組n為
它的解為
2．解：（1）依次填：1,0.
（2）依次填：x+y=1,x-ny=n ,n,1-n.
（3）∵方程組 的解是
∴10+9=16，
解得= ，
∵按照題中規(guī)律可知：是16的算術(shù)平方根，即=4，
∴矛盾．
∴該方程組不符合題中的規(guī)律．
5.2解二元一次方程組
專題 解二元一次方程組的探究性問題
2. 上數(shù)學(xué)課時(shí)，陳老師讓同學(xué)們解一道關(guān)于x、y的方程組 并請(qǐng)小方和小龍兩位同學(xué)到黑板上板演.可是小方同學(xué)看錯(cuò)了方程（1）中的a，得到方程組的解為 小龍同學(xué)看錯(cuò)了方程(2)中的b，得到方程組的解為 你能按正確的a、 b值求出方程組的解嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?
3．三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“若方程組 的解是 ，求方程組 的解.”提出各自的想法.甲說：“這個(gè)題目好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5，通過換元替換的方法來解決”.參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是多少？
答案：
1.6 【解析】 兩式相加，得（+1）x=12，x= ，
當(dāng)=1時(shí)，x=6，y=6-2=4；當(dāng)=2時(shí)，x=4，y=4-2=2；
當(dāng)=3時(shí)，x=3，y=3-2=1；當(dāng)=4時(shí)，x= ，y= -2= ；
當(dāng)=5時(shí)，x=2，y=2-2=0；當(dāng)=6時(shí)，x= ，y= -2=- ；
當(dāng)=7時(shí)，x= ，y= -2= ；當(dāng)=8時(shí)，x= ，y= -2= ；
當(dāng)=9時(shí)，x= ，y= -2= ；當(dāng)=10時(shí)，x= ，y= -2= ；
當(dāng)=11時(shí)，x=1，y=1-2=-1；當(dāng)=12時(shí)，x= ，y= -2= ．
可見，滿足條件的值為1，2，3.其和為1+2+3=6．
2．解：由題意得方程組 解得
代入原方程組，得 解得
3．解：根據(jù)方程組解的定義,將 代入方程組 ,得
再根據(jù)丙同學(xué)的提示，將第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5得 將 , ,代入上面方程組得
則當(dāng) 時(shí)，不論a1,a2,b1,b2取何值方程組均成立，故知 .
5.3雞兔同籠
專題 圖表信息題
1. 如圖，在3×3的方陣圖中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式（其中每個(gè)代數(shù)式都表示一個(gè)數(shù)）
使得每行的3個(gè)數(shù)，每列的3個(gè)數(shù)，斜對(duì)角的3個(gè)數(shù)之和均相等．
（1）求x，y的值；
（2）畫圖完成此方陣圖．
2. 有三把梯子，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的．每把梯子的扶桿長(zhǎng)（即梯長(zhǎng)）、頂檔寬、底檔寬如圖所示，并把橫檔與扶桿榫合處稱作連接點(diǎn)（如點(diǎn)A）．
（1）通過計(jì)算，補(bǔ)充填寫下表：
梯子種類兩扶桿總長(zhǎng)（米）橫檔總長(zhǎng)（米）連接點(diǎn)數(shù)（個(gè)）
五步梯42.010
七步梯
九步梯
（2）一把梯子的成本由材料費(fèi)和加工費(fèi)組成，假定加工費(fèi)以每個(gè)連接點(diǎn)1元計(jì)算，而材料費(fèi)中扶桿的單價(jià)與橫檔的單價(jià)不相等（材料損耗及其它因素忽略不計(jì)）．現(xiàn)已知一把五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一把九步梯的成本．
答案：
1．解：（1）由題意，得 解得
（2）如圖.
2．解：（1）七步梯、九步梯的扶桿長(zhǎng)分別是5米、6米；
橫檔總長(zhǎng)分別是： ×（0.4+0.6）×7=3.5(米)、 （0.5+0.7）×9=5.4(米)；
連接點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是14個(gè)、18個(gè).故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18.
（2）設(shè)扶桿單價(jià)為x元/米，橫檔單價(jià)為y元/米，
依題意得 解得
故九步梯的成本為6×3+5.4×2+1×18=46.8（元），
答：一把九步梯的成本為46.8元．
5.4增收節(jié)支
專題 方案設(shè)計(jì)問題
1.某中學(xué)擬組織九年級(jí)師生去韶山舉行畢業(yè)聯(lián)歡活動(dòng)．下面是年級(jí)組長(zhǎng)李老師和小芳、小
明同學(xué)有關(guān)租車問題的對(duì)話：
李老師：“平安客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號(hào)的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴200元．”
小芳：“我們學(xué)校八年級(jí)師生昨天在這個(gè)客運(yùn)公司租了4輛60座和2輛45座的客車到韶山參觀，一天的租金共計(jì)5000元．”
小明：“我們九年級(jí)師生租用5輛60座和1輛45座的客車正好坐滿．”
根據(jù)以上對(duì)話，解答下列問題：
（1）平安客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？
（2）按小明提出的租車方案，九年級(jí)師生到該公司租車一天，共需租金多少元？
2. （2012福建龍巖）已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
⑴1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？
⑵請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；
⑶若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
答案：
1．解：（1）設(shè)平安公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為x元，y元．
由題意列方程組 ，解得 .
答：平安公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為900元，700元.
（2）九年級(jí)師生共需租金：5×900+1×700=5200（元）.
答：共需租金5200元．
2．解：⑴設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨x噸、y噸，根據(jù)題意得
，解得 ，
故1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸．
⑵根據(jù)題意可得3a+4b=31，b= ，
使a，b都為整數(shù)的情況共有a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1三種情況，
故租車方案分別為: ○1A型車1輛，B型車7輛；○2 A型車5 輛，B型車4輛；
○3A型車9輛，B型車1輛．
⑶設(shè)租車費(fèi)為w元，則w=100a+120b，
方案○1租車費(fèi)為100×1+120×7=940(元)；
方案○2租車費(fèi)為100×5+120×4=980(元)；
方案○3租車費(fèi)為100×9+120×1=1020(元)．
故方案（1）最省錢，即租用A型車1輛，B型車7輛．最少租車費(fèi)為940元.
5.5里程碑上的數(shù)
專題 行程問題
1. 一輛汽車在公路上勻速行駛，司機(jī)在路邊看到一個(gè)里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，行駛一小時(shí)后，他看到的里程碑上的數(shù)，恰好是第一個(gè)里程碑上的數(shù)顛倒順序后的兩位數(shù)，再過一小時(shí)，他看到的里程碑上的數(shù)，又恰好是第一次看到的兩位數(shù)中間添上一個(gè)零的三位數(shù)，那么他第一次看到的兩位數(shù)是（ �。�
A．14B．15C．16D．17
2. 某人在電車路軌旁與路軌平行的路上行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔2分鐘有一部電車從對(duì)面駛向后面．假設(shè)電車和此人行走的速度都不變（分別為 表示），請(qǐng)你根據(jù)下面的示意圖，求電車每隔幾分鐘（用 表示）從車站開出一部？
3. 甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過3小時(shí)后相距3千米，再經(jīng)過2小時(shí)，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度．
答案：
1．C 【解析】 設(shè)第一次他看到的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)為x，十位數(shù)為y，汽車行駛速度為v，根據(jù)題意得
解得x=6y.
∵xy為1-9內(nèi)的自然數(shù)，∴x=6，y=1；
即兩位數(shù)為16．
答：他第一次看到的兩位數(shù)是16．
2．解：根據(jù)題意得
，解得 ．
（分鐘）．
答：電車每隔3分鐘從車站開出一部．
3．解：設(shè)甲的速度為xk/h，乙的速度為yk/h，則有兩種情況：
（1）當(dāng)甲和乙相遇前相距3千米時(shí)，
依題意得
解得
（2）當(dāng)甲和乙相遇后相距3千米時(shí)，
依題意得
解得
答：甲乙兩人的速度分別為4k/h、5k/h或 k/h， k/h．
5.6二元一次方程組與一次函數(shù)
專題 二元一次方程組與一次函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用
1. (2012江蘇鎮(zhèn)江)甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運(yùn)往B地，甲出發(fā)0.5小時(shí)后乙開始出發(fā)，結(jié)果比甲早1小時(shí)到達(dá)B地．如圖，線段OP、N分別表示甲、乙兩車離A地的距離s(千米)與時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系，a表示A、B兩地間的距離．請(qǐng)結(jié)合圖象中的信息解決如下問題：
(1)分別計(jì)算甲、乙兩車的速度及a的值；
(2)乙車到達(dá)B地后以原速立即返回，請(qǐng)問甲車到達(dá)B地后以多大的速度立即勻速返回，才能與乙車同時(shí)回到A地？并在圖中畫出甲、乙在返回過程中離A地的距離s（千米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖象．
2. 小華觀察鐘面（圖1），了解到鐘面上的分針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)360度，時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)30度.他為了進(jìn)一步研究鐘面上分針與時(shí)針的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，從下午2:00開始對(duì)鐘面進(jìn)行了一個(gè)小時(shí)的觀察.為了研究方便，他將分針與原始位置OP（圖2）的夾角記為y1度，時(shí)針與原始位置OP的夾角記為y2度（夾角是指不大于平角的角），旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t分鐘，觀察結(jié)束后，他利用所得的數(shù)據(jù)繪制成圖象（圖3），并求出了y1與t的函數(shù)關(guān)系式： .
請(qǐng)你完成：
（1）求出圖3中y2與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并解釋這兩點(diǎn)的實(shí)際意義；
（3）若小華繼續(xù)觀察一小時(shí)，請(qǐng)你在圖3 中補(bǔ)全圖象.
答案：
1．解：（1）由題意知，甲的速度為 k/h，乙的速度為 k/h.
設(shè)甲到達(dá)B地的時(shí)間為t，則 解得t=4.5，a=180.
（2）如圖，線段PE、NE分別表示甲、乙兩車返回時(shí)離A地的距離s（千米）與時(shí)間
（小時(shí)）的關(guān)系，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為： ，若甲、乙兩車同時(shí)返回A地， 則甲返回時(shí)需用的時(shí)間為： （小時(shí)），∴甲返回的速度為90k/h.
圖象如圖所示．
2．解：（1）由圖3可知：y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,60）和（60,90），設(shè)y2=at+b，則
， 解得 .
∴圖3中y2與t的函數(shù)關(guān)系式為：y2= t+60.
（2）A點(diǎn)的坐標(biāo)是A（ , ），點(diǎn)A是 和y2= t+60的交點(diǎn)；B點(diǎn)的坐標(biāo)是B（ , ），點(diǎn)B是 和y2= t+60的交點(diǎn).
（3）補(bǔ)全圖象如下：
5.7三元一次方程
專題 三元一次方程的應(yīng)用
1．小明、小敏、小新商量要在畢業(yè)前夕給老師辦公室的4道窗戶剪貼窗花表達(dá)大伙的尊師之情．小明說：“我來出一道數(shù)學(xué)題：把剪4個(gè)窗花的任務(wù)分配給3個(gè)人，每人至少剪個(gè)，有多少種分配方法”小敏想了想說：“設(shè)各人的任務(wù)為x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接著說：“那么問題就成了問這個(gè)方程有幾個(gè)正整數(shù)解．”現(xiàn)在請(qǐng)你說說看：這個(gè)方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ �。�
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
2．某步行街?jǐn)[放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景．甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成；乙種盆景由10朵紅花、12朵黃花搭配而成；丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成．這些盆景一共用了2900朵紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了 朵．
3．把數(shù)字1，2，3，…，9分別填入下圖的9個(gè)圈內(nèi)，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個(gè)圈內(nèi)的數(shù)字之和都等于18．
（1）給出一種符合要求的填法；
（2）共有多少種不同填法？證明你的結(jié)論．
答案：
1．D 【解析】（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=1，z=2或y=2，z=1；
（2）當(dāng)y=1時(shí)，x=1，z=2或x=2，y=1；
（3）當(dāng)z=1時(shí)，x=1，y=2或y=1，x=2．
故選D．
2．4380 【解析】設(shè)步行街?jǐn)[放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別有x盆、y盆、z盆．
由題意，有 ，
由①，得3x+2y+2z=580，③
由②，得x+z=150，④
把④代入③，得x+2y=280，
∴2y=280?x，⑤
由④得z=150?x．⑥
∴4x+2y+3z=4x+（280?x）+3（150?x）=730，
∴24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．
故黃花一共用了4380朵．
3.解：（1）如圖給出了一個(gè)符合要求的填法.
（2）共有6種不同填法.
證明:把填入A，B，C三處圈內(nèi)的三個(gè)數(shù)之和記為x；D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)的三個(gè)數(shù)之和記為y；其余三個(gè)圈所填的數(shù)位之和為z．顯然有x+y+z=1+2+…+9=45，①
圖中六條邊，每條邊上三個(gè)圈中之?dāng)?shù)的和為18，所以有z+3y+2x=6×18=108，②
②-①，得x+2y=108-45=63，③
把AB，BC，CA邊上三個(gè)圈中的數(shù)相加，則可得2x+y=3×18=54，④
聯(lián)立③，④，解得x=15，y=24，
繼而解得之z=6．
在1，2，3，…，9中三個(gè)數(shù)之和為24的僅為7，8，9，所以在D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)，只能填7，8，9三個(gè)數(shù)，共有6種不同填法．
顯然，當(dāng)這三個(gè)圈中的數(shù)一旦確定，根據(jù)題目要求，其余六個(gè)圈內(nèi)的數(shù)也隨之確定，從而得結(jié)論，共有6種不同的填法．
山
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