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山東省德州市2013年中考數(shù)學試卷
　
一、（共12小題，每小題3分，滿分36分）
1．（3分）（2013• 德州）下列計算正確的是 （　�。�
　A． =9B． =?2C．（?2）0=?1D．?5?3=2

考點：負整數(shù)指數(shù)冪；絕對值；算術平方根；零指數(shù)冪．
分析：對各項分別進行負整數(shù)指數(shù)冪、算術平方根、零指數(shù)冪、絕對值的化簡等運算，然后選出正確選項即可．
解答：解：A、（）?2=9，該式計算正確，故本選項正確；
B、 =2，該式計算錯誤，故本選項錯誤；
C、（?2）0=1，該式計算錯誤，故本選項錯誤；
D、?5?3=8，該式計算錯誤，故本選項錯誤；
故選A．
點評：本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪、算術平方根、零指數(shù)冪、絕對值的化簡等運算，屬于基礎題，掌握各知識點運算法則是解題的關鍵．
　
2．（3分）（2013• 德州）民族圖案是數(shù)學文化中的一塊瑰寶．下列圖案中，既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是（　�。�
　A． B． C． D．

考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．
分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解答：解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項正確；
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．
故選C．
點評：本題考查了中心對稱及軸對稱的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．
　
3．（3分）（2013• 德州）森林是地球之肺，每年能為人類提供大約28.3億噸的有機物．28.3億噸用科學記數(shù)法表示為（　�。�
　A．28.3×107B．2.83×108C．0.283×1010D．2.83×109

考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：28.3億=2 8.3×108=2.83×109．
故選D．
點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．（3分）（2013• 德州）如圖，AB∥CD，點E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數(shù)為（　�。�

　A．68°B．32°C．22°D．16°

考點：平行線的性質；等腰三角形的性質．
分析：根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答即可．
解答：解：∵CD =CE，
∴∠D=∠DEC，
∵∠D=74 °，
∴∠C=180°?74°×2=32°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=32°．
故選B．
點評：本題考查了兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．
　
5．（3分）（2013• 德州）圖中三視圖所對應的直觀圖是（　　）

　A． B． C． D．

考點：由三視圖判斷幾何體．
分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
解答：解：從俯視圖可以看出直觀圖的下面部分為長方體，上面部分為圓柱，且與下面的長方體的頂面的兩邊相切高度相同．
只有C滿足這兩點．
故選C．
點評：本題考查了三視圖的概念．易錯易混點：學生易忽略圓柱的高與長方體的高的大小關系，錯選B．
　
6．（3分）（2013• 德州）甲、乙兩人在一次百米賽跑中，路程s（米）與賽跑時間t（秒）的關系如圖所示，則下列說法正確的是（　�。�

　A．甲、乙兩人的速度相同B．甲先到達終點
　C．乙用的時間短D．乙比甲跑的路程多

考點：函數(shù)的圖象．
分析：利用圖象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所給數(shù)據(jù)結合圖形逐個分析．
解答：解：結合圖象可知：兩人同時出發(fā)，甲比乙先到達終點，甲的速度比乙的速度快，
故選B．
點評：本題考查了函數(shù)的圖象，關鍵是會看函數(shù)圖象，要求同學們能從圖象中得到正確 信息．
　
7．（3分）（2013• 德州）下列命題中，真命題是（　�。�
　A．對角線相等的四邊形是等腰梯形
　B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
　C．對角線互相垂直的四邊形是菱形
　D．四個角相等的四邊形是矩形

考點：命題與定理．
分析：根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定與性質分別判斷得出答案即可．
解答：解：A、根據(jù)對角線相等的四邊形也可能是矩形，故此選項錯誤；
B、根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故此選項錯誤；
C、根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故此選項錯誤；
D、根據(jù)四個角相等的四邊形是矩形，是真命題，故此選項正確．
故選：D．
點評：此題主要考查了命題與定理，熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定與性質是解題關鍵．
　
8．（3分）（2013• 德州）下列函數(shù)中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是（　�。�
　A．y=?x+1B．y=x2?1C．y=D．y=?x2+1

考點：二次函數(shù)的性質；一次函數(shù)的性質；反比例函數(shù)的性質．
分析：根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性，結合自變量的取值范圍，逐一判斷．
解答：解：A、y=?x+1，一次函數(shù)，k＜0，故y隨著x增大而減小，錯誤；
B、y=x2?1（x＞0），故當圖象在對稱軸右側，y隨著x的增大而增大；而在對稱軸左側（x＜0），y隨著x的增大而減小，正確．
C、y=，k=1＞0，在每個象限里，y隨x的增大而減小，錯誤；
D、y=?x2+1（x＞0），故當圖象在對稱軸右側，y隨著x的增大而減��；而在對稱軸左側（x＜0），y隨著x的增大而增大，錯誤；
故選B．
點評：本題綜合考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性（單調性），是一道難度中等的題目．
　
9．（3分）（2013• 德州）一項“過關游戲”規(guī)定：在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數(shù)）拋擲n次，若n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于n2，則算過關；否則不算過關，則能過第二關的概率是（　�。�
　A． B． C．D．

考點：列表法與樹狀圖法．
分析：由在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數(shù)）拋擲n次，n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于n2，則算過關；可得能過第二關的拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和需要大于5，然后根據(jù)題意列出表格，由表格求得所有等可能的結果與能過第二關的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵在過第n關時要將一顆質地均勻的骰子（六個面上分別刻有1到6的點數(shù)）拋擲n次，n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于n2，則算過關；
∴能過第二關的拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和需要大于5，
列表得：
6789101112
567891011
45678910
3456789
2345678
1234567
123456
∵共有36種等可能的結果，能過第二關的有26種情況，
∴能過第二關的概率是： = ．
故選A．
點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
　
10．（3分）（2013• 德州）如圖，扇形AOB的半徑為1，∠AOB=90°，以AB為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（　�。�

　A． B． C．D．

考點：扇形面積的計算．
分析：首先利用扇形公式計算出半圓的面積和扇形AOB的面積，然后求出△AOB的面積，用S半圓+S△AOB?S扇形AOB可求出陰影部分的面積．
解答：解：在Rt△AOB中，AB= = ，
S半圓=π×（ ）2=π，
S△AOB=OB×OA=，
S扇形OBA= = ，
故S陰影=S半圓+S△AOB?S扇形AOB=．
故選C．
點評：本題考查了扇形的面積計算，解答本題的關鍵是熟練掌握扇形的面積公式，仔細觀察圖形，得出陰影部分面積的表達式．
　
11．（3分）（2013• 德州）函數(shù)y=x2+bx+c與y=x的圖象如圖所示，有以下結論：
①b2?4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④當1＜x＜3時，x2+（b?1）x+c＜0．
其中正確的個數(shù)為（　�。�

　A．1B．2C．3D．4

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
分析：由函數(shù)y=x2+bx+c與x軸無交點，可得b2?4c＜0；當x=1時，y=1+b+c=1；當x=3時，y=9+3b+c=3；當1＜x＜3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得x2+bx+c＜x，繼而可求得答案．
解答：解：∵函數(shù)y=x2+bx+c與x軸無交點，
∴b2?4c＜0；
故①錯誤；
當x=1時，y=1+b+c=1，
故②錯誤；
∵當x=3時，y=9+3b+c=3，
∴ 3b+c+6=0；
③正確；
∵當1＜x＜3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b?1）x+c＜0．
故④正確．
故選B．
點評：主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
　
12．（3分）（2013• 德州）如圖，動點P從（0，3）出發(fā)，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第2013次碰到矩形的邊時，點P的坐標為（　　）

　A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）

考點：規(guī)律型：點的坐標．
專題：規(guī)律型．
分析：根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2013除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應的點的坐標即可．
解答：解：如圖，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點（0，3），
∵2013÷6=335…3，
∴當點P第2013次碰到矩形的邊時為第336個循環(huán)組的第3次反彈，
點P的坐標為（8，3）．
故選D．

點評：本題是對點的坐標的規(guī)律變化的考查了，作出圖形，觀察出每 6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵，也是本題的難點．
　
二、題（共5小題，每小題4分，滿分20分）
13．（4分）（2013• 德州） cos30°的值是　 　．

考點：特殊角的三角函數(shù)值．
分析：將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．
解答：解： cos30°= × = ．
故答案為： ．
點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題，掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
　
14．（4分）（2013• 德州）如圖，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象，請你用數(shù)學知識解釋出這一現(xiàn)象的原因　兩點之間線段最短�。�

考點：線段的性質：兩點之間線段最短；三角形三邊關系．
專題：開放型．
分析：根據(jù)線段的性質解答即可．
解答：解：為抄近路踐踏草坪原因是：兩點之間線段最短．
故答案為：兩點之間線段最短．
點評：本題考查了線段的性質，是基礎題，主要利用了兩點之間線段最短．
　
15．（4分）（2013• 德州）甲乙兩種水稻試驗品中連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：噸/公頃）
品種第1年第2年第3年第4年第5年
甲9.89.910.11010.2
乙9.410.310.89.79.8
經(jīng)計算， =10， =10，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計　甲　中水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．

考點：方差．
分析：根據(jù)方差公式S2= [（x1?）2+（x2?）2+…+（xn?）2]分別求出兩種水稻的產(chǎn)量的方差，再進行比較即可．
解答：解：甲種水稻產(chǎn)量的方差是：
[（9.8?10）2+（9.9?10）2+（10.1?10）2+（10?10）2+（10.2?10）2]=0.02，
乙種水稻產(chǎn)量的方差是：
[（9.4?10）2+（10.3?10）2+（10.8?10）2+（9.7?10）2+（9.8?10）2]=0.124．
∴0.02＜0.124，
∴產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲，
故答案為：甲
點評：此題考查了方差，用到的知識點是方差和平均數(shù)的計算公式，一般地設n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2= [（x1?）2+（x2?）2+…+（xn?）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
　
16．（4分）（2013• 德州）函數(shù)y=與y=x?2圖象交點的橫坐標分別為a，b，則+的值為　?2�。�

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
專題：．
分析：先根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式得到=x?2，去分母化為一元二次方程得到x2?2x?1=0，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=2，ab=?1，
然后變形+得 ，再利用整體思想計算即可．
解答：解：根據(jù)題意得=x?2，
化為整式方程，整理得x2?2x?1=0，
∵函數(shù)y=與y=x?2圖象交點的橫坐標分別為a，b，
∴a、b為方程x2?2x?1=0的兩根，
∴a+b=2，ab=?1，
∴+= = =?2．
故答案為?2．
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系．
　
17．（4分）（2013• 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．
其中正確的序號是�、佗冖堋。ò涯阏J為正確的都填上）．

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC?BE=CD?DF，
∴CE=CF，
∴①說法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說法錯誤；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
設正方形的邊長為a，
在Rt△ADF中，
a2+（a? ）2=4，
解得a= ，
則a2=2+ ，
S正方形ABCD=2+ ，
④說法正確，
故答案為①②④．

點評：本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩．
　
三、解答題（共7小題，滿分64分）
18．（6分）（2013• 德州）先化簡，再求值： ÷ ，其中a= ?1．

考點：分式的化簡求值．
專題：．
分析：將括號內(nèi)的部分通分后相減，再將除法轉化為后代入求值．
解答：解：原式=[ ? ]•
= •
= •
= ．
當a= ?1時，原式= =1．
點評：本題考查了分式的化簡求值，熟悉通分、約分及因式分解是解題的關鍵．
　
19．（8分）（2013• 德州）某區(qū)在實施居民用水額定管理前，對居民生活用水情況進行了調查，下表是通過簡單隨機抽樣獲得的50個家庭去年月平均用水量（單位：噸），并將調查數(shù) 據(jù)進行如下整理：
4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7
4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5
3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2
5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5
4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5
頻數(shù)分布表
分組劃記頻數(shù)
2.0＜x≤3.5正正11
3.5＜x≤5.0 19
5.0＜x≤6.5

6.5＜x≤8.0
8.0＜x≤9.5
合計 2
50
（1）把上面頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補充完整；
（2）從直方圖中你能得到什么信息？（寫出兩條即可）；
（3）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5倍價格收費，若要使60%的家庭收費不受影響，你覺得家庭月均用水量應該定為多少？為什么？

考點：頻數(shù)（率）分布直方圖；頻數(shù)（率）分布表．
分析：（1）根據(jù)題中給出的50個數(shù)據(jù)，從中分別找出5.0＜x≤6.5與 6.5＜x≤8.0 的個數(shù)，進行劃記，得到對應的頻數(shù)，進而完成頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖；
（2）本題答案不唯一．例如：從直方圖可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之間；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范圍內(nèi)的最多，有19戶；
（3）由于50×60%=30，所以為了鼓勵節(jié)約用水，要使60%的家庭收費不受影響，即要使30戶的家庭收費不受影響，而11+19=30，故家庭月均用水量應該定為5噸．
解答：解：（1）頻數(shù)分布表如下：
分組劃記頻數(shù)
2.0＜x≤3.5正正11
3.5＜x≤5.0 19
5.0＜x≤6.5

6.5＜x≤8.0
13
5
8.0＜x≤9.5
合計 2
50
頻數(shù)分布直方圖如下：

（2）從直方圖可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之間；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范圍內(nèi)的最多，有19戶；

（3）要使60%的家庭收費不受影響，你覺得家庭月均用水量應該定為5噸，因為月平均用水量不超過5噸的有30戶，30÷50=60%．
點評：本題考查讀頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布表的能力及利用統(tǒng)計圖表獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
　
20．（8分）（2013• 德州）如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形．
（1）求AD的長；
（2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．

考點：切線的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的性質．
專題：計算題．
分析：（1）連接BD，由ED為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠DBE為直角，由BCOE為平行四邊形，得到BC與OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C為AD的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AD的長即可；
（2）連接OB，由BC與OD平行，BC=OD，得到四邊形BCDO為平行四邊形，由AD為圓的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AD，可得出四邊形BCDO為矩形，利用矩形的性質得到OB垂直于BC，即可得出BC為圓O的切線．
解答：解：（1）連接BD，則∠DBE=90°，
∵四邊形BCOE為平行四邊形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C為AD的中點，
∴BC=AD=1，
則AD=2；

（2）連接OB，
∵BC∥OD，BC=OD，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∵AD為圓O的切線，
∴OD⊥AD，
∴四邊形BCDO為矩形，
∴OB⊥BC，
則BC為圓O的切線．

點評：此題考查了切線的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質，以及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．
　
21．（10分）（20 13• 德州）某地計劃用120?180天（含120與180天）的時間建設一項水利工程，工程需要運送的土石方總量為360萬米3．
（1）寫出運輸公司完成任務所需的時間y（單位：天）與平均每天的工作量x（單位：萬米3）之間的函數(shù)關系式，并給出自變量x的取值范圍；
（2）由于工程進度的需要，實際平均每天運送土石比原計劃多5000米3，工期比原計劃減少了24天，原計劃和實際平均每天運送土石方各是多少萬米3？

考點：反比例函數(shù)的應用；分式方程的應用．
專題：．
分析：（1）利用“每天的工作量×天數(shù)=土方總量”可以得到兩個變量之間的函數(shù)關系；
（2）根據(jù)“工期比原計劃減少了24天”找到等量關系并列出方程求解即可；
解答：解：（1）由題意得，y=
把y=120代入y= ，得x=3
把y=180代入y= ，得x=2，
∴自變量的取值范圍為：2≤x≤3，
∴y= （2≤x≤3）；

（2）設原計劃平均每天運送土石方x萬米3，則實際平均每天運送土石方（x+0.5）萬米3，
根據(jù)題意得：
解得：x=2.5或x=?3
經(jīng)檢驗x=2.5或x=?3均為原方程的根，但x=?3不符合題意，故舍去，
答：原計劃每天運送2.5萬米3，實際每天運送3萬米3．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的應用及分式方程的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關系式．
　
22．（10分）（2013• 德州）設A是由2×4個整數(shù)組成的2行4列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”．
（1）數(shù)表A如表1所示，如果經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可）
表1
123?7
?2?101
（2）數(shù)表A如表2所示，若經(jīng)過任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)a的值
表2．
aa2?1?a?a2
2?a1?a2a?2a2

考點：一元一次不等式組的應用．
分析：（1）根據(jù)某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變改行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”，先改變表1的第4列，再改變第2行即可；
（2）根據(jù)每一列所有數(shù)之和分別為2，0，?2，0，每一行所有數(shù)之和分別為?1，1，然后分別根據(jù)如果操作第三列或第一行，根據(jù)每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，列出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：
改變第4列 改變第2行

（2）∵每一列所有數(shù)之和分別為2，0，?2，0，每一行所有數(shù)之和分別為?1，1，
則①如果操作第三列，

則第一行之和為2a?1，第二行之和為5?2a，
，
解得：≤a ，
又∵a為整數(shù)，
∴a=1或a=2，
②如果操作第一行，

則每一列之和分別為2?2a，2?2a2，2a?2，2a2，
，
解得a=1，
此時2?2a2，=0，2a2=2，
綜上可知：a =1．
點評：此題考查了一元一次不等式組的應用，關鍵是讀懂題意，根據(jù)題目中的操作要求，列出不等式組，注意a為整數(shù)．
　
23．（10分）（2013• 德州）（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知△ ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關系？簡單說明理由；
（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

考點：四邊形綜合題．
專題：計算題．
分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形， 得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）BE=CD，理由與（1）同理；
（3）根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長．
解答：解：（1）完成圖形，如圖所示：
證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（2）BE=CD，理由同（1），
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100 米，
連接CD，則由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100 米，
根據(jù)勾股定理得：CD= =100 米，
則BE=CD=100 米．


點評：此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．
　
24．（12分）（2013• 德州）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C．
（1）求拋物線的 解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其坐標為t，
①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似點P的坐標；
②是否存在一點P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）先求出A、B、C的坐標，再運用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析式；
（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當∠CEF=90°時，當∠CFE=90°時，根據(jù)相似三角形的性質就可以求出P點的坐標；
② 先運用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，設P與CD的交點為N，根據(jù)CD的解析式表示出點N的坐標，再根據(jù)S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以求出結論．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= =3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，xkb1
∴A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（?3，0）．
代入解析式為
，
解得： ．
∴拋物線的解析式為y=?x2?2x+3；

（2）①∵拋物線的解析式為y=?x2?2x+3，
∴對稱軸l=? =?1，
∴E點的坐標為（?1，0）．
如圖，當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（?1，4）；
當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作P⊥x軸于點，則△EFC∽△EP．
∴ ，
∴P=3E．
∵P的橫坐標為t，
∴P（t，?t2?2t+3）．
∵P在二象限，
∴P=?t2?2t+3，E=?1?t，
∴?t2?2t+3=3（?1?t），
解得：t1=?2，t2=?3（與C重合，舍去），
∴t=?2時，y=?（?2）2?2×（?2）+3=3．
∴P（?2，3）．
∴當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為：（?1，4）或（?2，3）；
②設直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得： ，
∴直線CD的解析式為：y=x+1．
設P與CD的交點為N，則點N的坐標為（t， t+1），
∴N=t+1．
∴PN=P?N=t2?2t+3?（t+1）=?t2? +2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=P•C+PN•O
=PN（C+O）
=PN•OC
=×3（?t2? +2）
=?（t+）2+ ，
∴當t=?時，S△PCD的最大值為 ．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質的運用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用，解答本題時，先求出二次函數(shù)的解析式是關鍵，用函數(shù)關系式表示出△PCD的面積由頂點式求最大值是難點．