2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（8）
一．解答題（共30小題）
1．（2015•大連）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于點E，與AB的延長線相交于點F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4 ，求EF的長．
2．（2015•濰坊）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的長．
3．（2015•棗莊）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的長．
4．（2015•西寧）如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點A，D是射線BF上的一點，且滿足 = ，過點O作OM⊥AC于點E，交⊙O于點M，連接BM，AM．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若sin∠ABM= ，AM=6，求⊙O的半徑．
5．（2015•廣元）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半徑．
6．（2015•北海）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）求證：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長．
7．（2015•莆田）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC，BD交于點E，點O在線段AE上，⊙O過B，D兩點，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ．求證：CB是⊙O的切線．
8．（2015•錦州）如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點D，點E為⊙O上一點，連接CE并延長交AB于點F，連接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線；
（2）若FC=6，DE=3，F(xiàn)D=2，求⊙O的直徑．
9．（2015•甘孜州）如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為點E．
（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H，若AB=4，求FH的長（結(jié)果保留根號）．
10．（2015•包頭）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是 上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長和⊙O的半徑．
11．（2015•本溪）如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點E、點F
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）連接OC，交⊙O于點G，若AB=4，求線段CE、CG與 圍成的陰影部分的面積S．
12．（2015•常德）已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．
13．（2015•武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）連接OT交⊙O于點C，連接AC，求tan∠TAC．
14．（2015•衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由．
15．（2015•攀枝花）如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF=ED．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑R=3，求 的值．
16．（2015•河池）如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于O，D在⊙O上，連接BD，CD，延長CD與AB的延長線交于E，F(xiàn)在BE上，且FD=FE．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）若AF=8，tan∠BDF= ，求EF的長．
17．（2015•畢節(jié)市）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長．
18．（2015•鹽城）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED=EA．
（1）求∠DOA的度數(shù)；
（2）求證：直線ED與⊙O相切．
19．（2015•懷化）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE
（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）求證：直線DE是⊙O的切線．
20．（2015•巴中）如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點F，交⊙O于點E，連結(jié)CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）若AB=5，BC=4，求線段CD的長．
21．（2015•寧夏）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2 ，求BC的長．
22．（2015•昆明）如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．
（1）求證：直線FG是⊙O的切線；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．
23．（2015•廈門）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對角線AC平分∠DCB，延長DA，CB相交于點E．
（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得∠OEF=30°，當(dāng)∠ACE≥30°時，判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
24．（2015•福州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，tanB= ，半徑為2的⊙C，分別交AC，BC于點D，E，得到 ．
（1）求證：AB為⊙C的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．
25．（2015•黃石）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點．
（1）求BC的長；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．
26．（2015•營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PD= cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；
（3）在（2）的條件下，若點E是 的中點，連接CE，求CE的長．
27．（2015•宜賓）如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的長．
28．（2015•隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．
（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求 的長．
29．（2015•潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）當(dāng)OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．
30．（2015•廣安）如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA、AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若 = ，且OC=4，求PA的長和tanD的值．
2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓（8）
參考答案與試題解析
一．解答題（共30小題）
1．（2015•大連）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于點E，與AB的延長線相交于點F．
（1）求證：EF與⊙O相切；
（2）若AB=6，AD=4 ，求EF的長．
考點： 切線的判定．
分析： （1）連接OD，由題可知，E已經(jīng)是圓上一點，欲證CD為切線，只需證明∠OED=90°即可．
（2）連接BD，作DG⊥AB于G，根據(jù)勾股定理求出BD，進而根據(jù)勾股定理求得DG，根據(jù)角平分線性質(zhì)求得DE=DG= ，然后根據(jù)△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的長．
解答： （1）證明：連接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠EAD．
∵OE=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠ODA=∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，
∴EF與⊙O相切．
（2）連接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，AD=4 ，
∴BD= =2，
∵OD=OB=3，
設(shè)OG=x，則BG=3?x，
∵OD2?OG2=BD2?BG2，即32?x2=22?（3?x）2，
解得x= ，
∴OG= ，
∴DG= = ，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE=DG= ，
∴AE= = ，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴ = ，即 = ，
∴ = ，
∴EF= ．
點評： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線的判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，兩小題題型都很好，都具有一定的代表性．
2．（2015•濰坊）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，交AB于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．
（1）求證：直線DF與⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的長．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線；
（2）證得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．
解答： （1）證明：如圖，
連接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵點D在⊙O上，
∴直線DF與⊙O相切；
（2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴ = ，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD= BC=3，
又∵AE=7，
∴ = ，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
點評： 此題考查切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．
3．（2015•棗莊）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的長．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；
（2）證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得．
解答： （1）證明：連接OD，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴CE=DE=BE= BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為⊙O的切線；
（2）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，即BC2=AC•CD．
∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD= ，
∴sin∠BAC= = ，
又∵BE=6，E是BC的中點，即BC=12，
∴AC=15．
又∵AC=2OE，
∴OE= AC= ．
點評： 本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
4．（2015•西寧）如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點A，D是射線BF上的一點，且滿足 = ，過點O作OM⊥AC于點E，交⊙O于點M，連接BM，AM．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若sin∠ABM= ，AM=6，求⊙O的半徑．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）要證AD是⊙O的切線，連接OA，只證∠DAO=90°即可．
（2）連接CM，根據(jù)垂徑定理求得 = ，進而求得∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，從而得出sin∠CBM= ，在RT△BMC中，利用正弦函數(shù)即可求得直徑AB，進而求得半徑．
解答： （1）證明：連接OA；
∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，AD⊥BF，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA為⊙O的切線．
（2）解：連接CM，
∵OM⊥AC于點E，OM是半徑，
∴ = ，
∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，
∴sin∠ABM=sin∠CBM= ，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BMC=90°，
在RT△BMC中，sin∠CBM= ，
∴ = ，
∴BC=10，
∴⊙O的半徑為5．
點評： 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了三角函數(shù)的知識．
5．（2015•廣元）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半徑．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線；
（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；
（3）過點C作CG⊥BE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG= BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A= ，在RtECG中求得CG= =12，根據(jù)三角形相似得到比例式 ，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果．
解答： （1）證明：連接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線．
（2）解：如圖1，連接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等邊三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF= ∠AOF=30°；
（3）解：如圖2，過點C作CG⊥BE于G，
∵CE=CB，
∴EG= BE=5，
∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，
∴∠GCE=∠A，
∴△ADE∽△CGE，
∴sin∠ECG=sin∠A= ，
在RtECG中，
∵CG= =12，
∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵△ADE∽△CGE，
∴ ，
∴AD= ，CG= ，
∴⊙O的半徑OA=2AD= ．
點評： 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
6．（2015•北海）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）求證：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長．
考點： 切線的判定．
分析： （1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根據(jù)“同角的余角相等”推知∠3=∠4，結(jié)合已知條件證得結(jié)論；
（3）設(shè)EF=x，則CF=2x，在RT△OEF中，根據(jù)勾股定理得出52=x2+（2x?5）2，求得EF=4，進而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根據(jù)勾股定理求得AE=6，然后根據(jù)△AEB∽△EFP，得出 = ，求得PF= ，即可求得PD的長．
解答： （1）證明：如圖，連接OE．
∵CD是圓O的直徑，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵點E在圓上，
∴PE是⊙O的切線；
（2）證明：∵AB、CD為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，
∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；
（3）解：設(shè)EF=x，則CF=2x，
∵⊙O的半徑為5，
∴OF=2x?5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x?5）2，
解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD?CF=10?8=2，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴ = ，即 = ，
∴PF= ，
∴PD=PF?DF= ?2= ．
點評： 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2015•莆田）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC，BD交于點E，點O在線段AE上，⊙O過B，D兩點，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= ．求證：CB是⊙O的切線．
考點： 切線的判定．
專題： 證明題．
分析： 連接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長，根據(jù)勾股定理求出BE的長，由OC?OE求出CE的長，再利用勾股定理求出BC的長，利用勾股定理逆定理判斷得到BC與OB垂直，即可確定出BC為圓O的切線．
解答： 證明：連接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根據(jù)勾股定理得：BE= = ，CE=OC?OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
則BC為圓O的切線．
點評： 此題考查了切線的判定，勾股定理及逆定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
8．（2015•錦州）如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點D，點E為⊙O上一點，連接CE并延長交AB于點F，連接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線；
（2）若FC=6，DE=3，F(xiàn)D=2，求⊙O的直徑．
考點： 切線的判定．
分析： （1）利用圓內(nèi)接四邊形對角互補以及鄰補角的定義得出∠FED=∠A，進而得出∠B+∠A=90°，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)首先得出△FED∽△FAC，進而求出即可．
解答： （1）證明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，
∴∠FED=∠A，
∵∠B+∠FED=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCA=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴ = ，
∴ = ，
解得：AC=9，即⊙O的直徑為9．
點評： 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定等知識，得出△FED∽△FAC是解題關(guān)鍵．
9．（2015•甘孜州）如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為點E．
（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H，若AB=4，求FH的長（結(jié)果保留根號）．
考點： 切線的判定．
分析： （1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△OCF是等邊三角形，得出CF=OC= BC= AB=2，再由三角函數(shù)即可求出FH．
解答： 解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接OF，如圖2所示：
∵OC=OF，∠C=60°，
∴△OCF是等邊三角形，
∴CF=OC= BC= AB=2，
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°，
∴FH=CF•sin∠C=2× = ．
點評： 本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2015•包頭）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是 上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF•DB；
（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長和⊙O的半徑．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)圓周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，則CB⊥AB，從而證得BC是⊙O的切線；
（2）通過證得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可證得結(jié)論．
（3）連接DA、DO，先證得OD∥BE，得出 = ，然后根據(jù)已知條件得出 = = = ，求得PD=4，通過證得△PDA∽△POD，得出 = ，設(shè)OA=x，則PA=x，PO=2x，得出 = ，解得OA=2 ．
解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，
∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）證明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE， = ，
∴∠DEA=∠DBE，
∵∠EDB=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴ = ，
∴DE2=DF•DB；
（3）解：連接DA、DO，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠EBD=∠OBD，
∴∠EBD=∠ODB，
∴OD∥BE，
∴ = ，
∵PA=AO，
∴PA=AO=OB，
∴ =
∴ = ，
∴ = ，
∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，
∴∠PDA=∠ABE，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴∠PDA=∠AOD，
∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD，
∴ = ，
設(shè)OA=x，
∴PA=x，PO=2x，
∴ = ，
∴2x2=16，x=2 ，
∴OA=2 ．
點評： 本題考查了切線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)；要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
11．（2015•本溪）如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點E、點F
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）連接OC，交⊙O于點G，若AB=4，求線段CE、CG與 圍成的陰影部分的面積S．
考點： 切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算．
分析： （1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接OE，分別求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面積，即可求出答案．
解答： （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，
又∵AC=CD，
∴AC=BC=CD，
∴△ABD為直角三角形，
∴AB⊥AD，
∵AB為直徑，
∴AD是⊙O的切線；
（2）解：連接OE，
∵OA=OE，∠BAC=60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴∠AOE=60°，
∵CB=BA，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠EOC=30°，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，
∴AO=2，由勾股定理得：OC= =2 ，
同理等邊三角形AOE邊AO上高是 = ，
S陰影=S△AOC?S等邊△AOE?S扇形EOG= = ．
點評： 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形面積，扇形的面積，切線的判定的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．
12．（2015•常德）已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．
考點： 切線的判定．
分析： （1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據(jù)OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結(jié)論．
（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．
解答： 證明：（1）如圖1，連接FO，
∵F為BC的中點，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直線垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE為⊙O的切線；
（2）如圖2，∵⊙O的半徑為3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD= ，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD= ，AC=6，
∴AD= ．
點評： 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2015•武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）連接OT交⊙O于點C，連接AC，求tan∠TAC．
考點： 切線的判定；解直角三角形．
分析： （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，從而證得AT是⊙O的切線；
（2）作CD⊥AT于D，設(shè)OA=x，則AT=2x，根據(jù)勾股定理得出OT= x，TC=（ ?1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 = = ，即 = = ，從而求得CD=（1? ）x，AD=2x?2（1? ）x= x，然后解正切函數(shù)即可求得．
解答： 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切線；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
設(shè)OA=x，則AT=2x，
∴OT= x，
∴TC=（ ?1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴ = = ，即 = = ，
∴CD=（1? ）x，TD=2（1? ）x，
∴AD=2x?2（1? ）x= x，
∴tan∠TAC= = = ．
點評： 本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
14．（2015•衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由．
考點： 切線的判定；菱形的判定．
分析： （1）連接AC，由題意得 = = ，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結(jié)論；
（2）四邊形AOCD為菱形．由 = ，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
解答： 解：（1）連接AC，
∵點CD是半圓O的三等分點，
∴ = = ，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
∴∠OCE=∠E，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；
（2）四邊形AOCD為菱形．
理由是：
∵ = ，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴平行四邊形AOCD是菱形．
點評： 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點內(nèi)容．
15．（2015•攀枝花）如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF=ED．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑R=3，求 的值．
考點： 切線的判定．
專題： 證明題．
分析： （1）連結(jié)OD，如圖，由EF=ED得到∠EFD=∠EDF，再利用對頂角相等得∠EFD=∠CFO，則∠CFO=∠EDF，由于∠OCF+∠CFO=90°，∠OCF=∠ODF，則∠ODC+∠EDF=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得DE是⊙O的切線；
（2）由OF：OB=1：3得到OF=1，BF=2，設(shè)BE=x，則DE=EF=x+2，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=90°，接著證明△EBD∽△EDA，利用相似比得 = = ，即 = = ，然后求出x的值后計算 的值．
解答： （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠CFO=∠EDF，
∵OC⊥OF，
∴∠OCF+∠CFO=90°，
而OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵OF：OB=1：3，
∴OF=1，BF=2，
設(shè)BE=x，則DE=EF=x+2，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
而∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，
而∠BED=∠DAE，
∴△EBD∽△EDA，
∴ = = ，即 = = ，
∴x=2，
∴ = = ．
點評： 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．
16．（2015•河池）如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于O，D在⊙O上，連接BD，CD，延長CD與AB的延長線交于E，F(xiàn)在BE上，且FD=FE．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）若AF=8，tan∠BDF= ，求EF的長．
考點： 切線的判定．
專題： 證明題．
分析： （1）連結(jié)OD，如圖，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到FD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)AD，如圖，利用圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根據(jù)相似的性質(zhì)得 = ，
再在Rt△ABD中，根據(jù)正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF= = ，于是可計算出DF=2，從而得到EF=2．
解答： （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵CO⊥AB，
∴∠E+∠C=90°，
∵FE=FD，OD=OC，
∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，
∴∠FDE+∠ODC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠A+∠ODB=90°，
∵∠BDF+∠ODB=90°，
∴∠A=∠BDF，
而∠DFB=∠AFD，
∴△FBD∽△FDA，
∴ = ，
在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF= = ，
∴ = ，
∴DF=2，
∴EF=2．
點評： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．
17．（2015•畢節(jié)市）如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長．
考點： 切線的判定．
專題： 證明題．
分析： （1）連結(jié)OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點得到OD⊥BE，則∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根據(jù)對頂角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，則∠OAD+∠CAF=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；
（2）由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理計算DF的長．
解答： （1）證明：連結(jié)OA、OD，如圖，
∵D為BE的下半圓弧的中點，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA，
∵∠CFA=∠DFO，
∴∠CAF=∠DFO，
而OA=OD，
∴∠OAD=∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3，
∴OF=2，
在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，
∴DF= = ．
點評： 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理．
18．（2015•鹽城）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED=EA．
（1）求∠DOA的度數(shù)；
（2）求證：直線ED與⊙O相切．
考點： 切線的判定．
分析： （1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）連接OE，通過△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到結(jié)論．
解答： （1）解；∵∠DBA=50°，
∴∠DOA=2∠DBA=100°，
（2）證明：連接OE．
在△EAO與△EDO中， ，
∴△EAO≌△EDO，
∴∠EDO=∠EAO，
∵∠BAC=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE與⊙O相切．
點評： 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接OE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2015•懷化）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE
（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）求證：直線DE是⊙O的切線．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)AC為⊙O的直徑，得出△BCD為Rt△，通過已知條件證明△BCD∽△BAC即可；
（2）連結(jié)DO，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由∠BDC=90°，E為BC的中點得到DE=CE=BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE與⊙O相切．
解答： （1）證明：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BDC，
又∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC；
（2）連結(jié)DO，如圖，
∵∠BDC=90°，E為BC的中點，
∴DE=CE=BE，
∴∠EDC=∠ECD，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE與⊙O相切．
點評： 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．
20．（2015•巴中）如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點F，交⊙O于點E，連結(jié)CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）若AB=5，BC=4，求線段CD的長．
考點： 切線的判定．
分析： （1）利用圓周角定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；
（2）利用圓周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DC的長．
解答： （1）證明：連接OC，
∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，
∴∠CBA=∠ODC，
又∵∠CFD=∠BFO，
∴∠DCB=∠BOF，
∵CO=BO，
∴∠OCF=∠B，
∵∠B+∠BOF=90°，
∴∠OCF+∠DCB=90°，
∴直線CD為⊙O的切線；
（2）解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCO=∠ACB，
又∵∠D=∠B
∴△OCD∽△ACB，
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=3，
∴ = ，
即 = ，
解得；DC= ．
點評： 此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△OCD∽△ACB是解題關(guān)鍵．
21．（2015•寧夏）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2 ，求BC的長．
考點： 切線的判定．
分析： 連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論；
（2）證明△ABC∽△PBO，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長．
解答： （1）證明：連接OB，如圖所示：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑為2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2．
點評： 本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵．
22．（2015•昆明）如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．
（1）求證：直線FG是⊙O的切線；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．
考點： 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）連接OE，證明FG是⊙O的切線，只要證明∠OEF=90°即可；
（2）設(shè)OA=OE=x，則OB=10?x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，即（10?x）2+52=x2，求出x的值，即可解答．
解答： 解：（1）如圖1，連接OE，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵點E在圓上，OE是半徑，
∴GF是⊙O的切線．
（2）∵四邊形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
設(shè)OA=OE=x，則OB=10?x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，
∴（10?x）2+52=x2，
∴ ，
，
∴⊙O的直徑為 ．
點評： 本題考查的是切線的判定，解決本題的關(guān)鍵是要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．
23．（2015•廈門）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對角線AC平分∠DCB，延長DA，CB相交于點E．
（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得∠OEF=30°，當(dāng)∠ACE≥30°時，判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
考點： 切線的判定；等腰直角三角形．
專題： 證明題．
分析： （1）由∠ACD=∠ABC得到 = ，則AD=AB，加上EB=AD，則AB=EB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判斷△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，則60°≤∠DCE＜90°，根據(jù)三角形邊角關(guān)系得AE≥AC，而OE＞AE，所以O(shè)E＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OH= OE，所以O(shè)H＞OA，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷直線EF與⊙O相離．
解答： （1）證明：∵對角線AC平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ABC，
∴ = ，
∴AD=AB，
∵EB=AD，
∴AB=EB，
∵∠EBA=∠ADC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直線EF與⊙O相離．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如圖，
在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，
∴OH= OE，
∴OH＞OA，
∴直線EF與⊙O相離．
點評： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系．
24．（2015•福州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，tanB= ，半徑為2的⊙C，分別交AC，BC于點D，E，得到 ．
（1）求證：AB為⊙C的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．
考點： 切線的判定；勾股定理；扇形面積的計算．
專題： 計算題．
分析： （1）過點C作CH⊥AB于H，如圖，先在Rt△ABC中，利用正切的定義計算出BC=2AC=2 ，再利用勾股定理計算出AB=5，接著利用面積法計算出CH=2，則可判斷CH為⊙C的半徑，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB為⊙C的切線；
（2）根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式，利用S陰影部分=S△ACB?S扇形CDE進行計算即可．
解答： （1）證明：過點C作CH⊥AB于H，如圖，
在Rt△ABC中，∵tanB= = ，
∴BC=2AC=2 ，
∴AB= = =5，
∵ CH•AB= AC•BC，
∴CH= =2，
∵⊙C的半徑為2，
∴CH為⊙C的半徑，
而CH⊥AB，
∴AB為⊙C的切線；
（2）解：S陰影部分=S△ACB?S扇形CDE
= ×2×5?
=5?π．
點評： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑．也考查了勾股定理和扇形面積的計算．
25．（2015•黃石）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點．
（1）求BC的長；
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．
考點： 切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．
分析： （1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進而求得BC即可；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．
解答： 證明：（1）解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABC=30°，AB=4，
∴BD=2 ，
∵D是BC的中點，
∴BC=2BD=4 ；
（2）證明：連接OD．
∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切線．
點評： 此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．
26．（2015•營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PD= cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；
（3）在（2）的條件下，若點E是 的中點，連接CE，求CE的長．
考點： 切線的判定；扇形面積的計算．
分析： （1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結(jié)論；
（2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據(jù)S陰=S⊙O?S△ABC求出答案；
（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．
解答： （1）證明：如圖1，連接OC，
∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中，
，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，
∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，
∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，
∴∠PAD=∠AOD，
∴△ADP∽△PDA，
∴ ，
∴AD2=PD•DO，
∵AC=8，PD= ，
∴AD= AC=4，OD=3，AO=5，
由題意知OD為△的中位線，
∴BC=6，OD=6，AB=10．
∴S陰=S⊙O?S△ABC= ?24；
（3）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，
∵點E是 的中點，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，
CM=MB=3 ，
BE=AB•cos45°=5 ，
∴EM= =4 ，
則CE=CM+EM=7 ．
點評： 本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、扇形面積的計算和相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關(guān)鍵．
27．（2015•宜賓）如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點D，DE∥BO，CE的延長線交BD于點A．
（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）若AE=2，tan∠DEO= ，求AO的長．
考點： 切線的判定與性質(zhì)．
分析： （1）連接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，問題得證；
（2）根據(jù)三角函數(shù)tan∠DEO=tan∠2= ，設(shè)；OC=r，BC= r，得到BD=BC= r，由切割線定理得到AD=2 ，再根據(jù)平行線分線段成比例得到比例式即可求得結(jié)果．
解答： 解：（1）連接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OE，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△DOB與△COB中，
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB=∠ODB，
∵BD切⊙O于點D，
∴∠ODB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴AC⊥BC，
∴直線BC是⊙O的切線；
（2）∵∠DEO=∠2，
∴tan∠DEO=tan∠2= ，
設(shè)；OC=r，BC= r，
由（1）證得△DOB≌△COB，
∴BD=BC= r，
由切割線定理得：AD2=AE•AC=2（2+r），
∴AD=2 ，
∵DE∥BO，
∴ ，
∴ ，
∴r=1，
∴AO=3．
點評： 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．切割線定理，平行線分線段成比例，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
28．（2015•隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．
（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求 的長．
考點： 切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；作圖—基本作圖．
分析： （1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；
（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．
解答： 解：（1）作圖如右圖，
連接OA，過O作OB⊥PC，
∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，
∴OA=OB，即d=r，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵PA、PC是⊙O的切線，
∴PA=PB，
又∵AB=AP=4，
∴△PAB是等邊三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，∠POA=60°，
在Rt△AOP中，tan60°=
∴OA=
∴ = = ．
點評： 本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是解決問題的關(guān)鍵．
29．（2015•潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延長線交于點M，∠COB=∠APB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）當(dāng)OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．
考點： 切線的判定與性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠MAP=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠P+M=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠M+∠MOB=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 = = ，根據(jù)解方程組，可得答案．
解答： （1）證明：∵PA切⊙O于點A，
∴∠MAP=90°，
∴∠P+M=90°．
∵∠COB=∠APB，
∴∠M+∠MOB=90°，
∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，
∵PB經(jīng)過直徑的外端點，
∴PB是⊙O的切線；
（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，
∴△OBM∽△APM，
∴ = = ，
= ①，
= ②
聯(lián)立①②得 ，
解得 ，
當(dāng)OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．
點評： 本題考查了切線的判定與性質(zhì)，（1）利用了切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)；（2）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，解方程組．
30．（2015•廣安）如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA、AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若 = ，且OC=4，求PA的長和tanD的值．
考點： 切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．
分析： （1）連接OB，先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進而可得∠PBO=∠PAO，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PBO=90°，進而可得：∠PAO=90°，進而可證：PA是⊙O的切線；
（2）連接BE，由 = ，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位線，進而可得BE∥OP，BE=2OC=8，進而可證△DBE∽△DPO，進而可得： ，從而求出BD的值，進而即可求出tanD的值．
解答： （1）證明：連接OB，則OA=OB，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵ ，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB為⊙O的切線，B為切點，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切線；
（2）連接BE，
∵ = ，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO= =2 ，
∴AE=2OA=4 ，OB=OA=2 ，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP= =3 ，
∴PB=PA=3 ，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC= BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴ ，
即 ，
解得：BD= ，
在Rt△OBD中，
tanD= = = ．
點評： 本題考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵．要證某線是圓的切線，對于切線的判定：已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
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