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安徽省安慶市宿松縣2015屆九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的代號(hào)寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi).每一小題，選對(duì)得4分，不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)）一律得0分．
1．sin30°的值是（）
 A．   B．   C．   D． 1

2．拋物線y=?（x?2）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）
 A． （?2，3） B ． （2，3） C． （2，?3） D． （?2，?3）

3．若反比例函數(shù)y= ，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）
 A． k＞?2 B． k＜?2 C ． k＞2 D． k＜2

4．在4×4網(wǎng)格中，∠α的位置如圖所示，則tanα的值為（）
 
 A．   B．   C． 2 D． 

5．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加下列一個(gè)條件仍不能判斷△ADB與△ABC相似的是（）
 
 A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，則AC的長(zhǎng)是（）
 
 A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

7．反比例函數(shù)y= 的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=x2?kx+k的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

8．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，EF，若四邊形ABCD的面積是40cm2，則△CEF的面積為（）
 
 A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2

9．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，下列結(jié)論中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2?4ac＞0；④a?b+c＞0．正確的是（）
 
 A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④

10．如圖，在等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB?BC的方向向點(diǎn)C移動(dòng)，若△APQ的面積為S（cm2），則下列最能反映S（cm2）與移動(dòng)時(shí)間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．請(qǐng)寫(xiě)一個(gè)二次函數(shù)，使它滿足下列條件：
（1）函數(shù)的圖象可由拋物線y=x2平移得到；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大．
你的結(jié)果是．

12．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA，若△OAB的面積為3，則k的值為．
 

13． 如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度i=3：4，壩高BC=4.5m，則坡面AB的長(zhǎng)度為m．
 

14．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點(diǎn)G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點(diǎn)O．設(shè)AB=a，CG=b（a＞b）．下列結(jié)論：①BG⊥DE；② ；③△BCG∽△EFO；④ ．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）
 

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．計(jì)算：2?2? cos60°?2sin45°+|1? |．

16．已知拋物線y=?x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

四、（本大題共2小題 ，每小題8分，滿分16分）
17．如圖 ，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，請(qǐng)按要求完成下面的問(wèn)題：
（1）以圖中的點(diǎn)O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來(lái)的兩倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則位似變化后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是．
 

18．平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，如圖所示，且OA=a，OC=b．請(qǐng)根據(jù)下列操作，完成后面的問(wèn)題．
【操作】
（1）連接AC，OB相交于點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為；
（2）過(guò)點(diǎn)P1作P1D⊥x軸于點(diǎn)D，連接BD交AC于點(diǎn)P2，則點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)為；
（3）過(guò)點(diǎn)P2作P2E⊥x軸于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)P3，則點(diǎn)P3的縱坐標(biāo)為；
…
【問(wèn)題】
（1）過(guò)點(diǎn)P3作P3F⊥x軸于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)P4，直接寫(xiě)出點(diǎn)P4的縱坐標(biāo)；
（2）按照上述操作進(jìn)行下去，猜想點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)是．（用含n的代數(shù)式表示）
 

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，AB、CD為兩個(gè)建筑物，建筑物AB的高度為80m，從建筑物AB的頂部A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂部C點(diǎn)的俯角∠EAC為30°，測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角∠EAD為69°．
（1）求兩建筑物兩底部之間的水平距離BD的長(zhǎng)度（精確到1m）；
（參考數(shù)據(jù)：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
 

20．如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）揚(yáng)揚(yáng)發(fā)現(xiàn)∠ABC=2∠ABD，于是她推測(cè)：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推測(cè)正確嗎？請(qǐng)通過(guò)本題圖形中的數(shù)據(jù)予以說(shuō)明．
 

六、（本題滿分12分）
21．如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點(diǎn)A（3，2）和B（?1，n）．
（1）試確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△OAB的面積S；
（3）結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出函數(shù)值 ＜ax+b時(shí)，自變量x的取值范圍．
 

七、（本題滿分12分）
22．“宿松家樂(lè)福超市”以每件20元的價(jià)格進(jìn)購(gòu)一批商品，試銷(xiāo)一階段后發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖：
（1）求每天銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若該商品每天的利潤(rùn)為w（元），試確定w（元）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式，并求售價(jià)x為多少時(shí)，每天的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少？
 

八、（本題滿分14分）
23．如圖①在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A．B重合），分別連接ED．EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．
【試題再現(xiàn)】如圖②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角頂點(diǎn)C在直線DE上，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E．求證：△ADC∽△CEB．
【問(wèn)題探究】在圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點(diǎn)E是否四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
【深入探究】如圖③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作AB⊥AD于點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)B．
（1）請(qǐng)證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)；
（2）若AD=3，BC=5，試求AB的長(zhǎng)；
 

安徽省安慶市宿松縣2015屆九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的代號(hào)寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi).每一小題，選對(duì)得4分，不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)）一律得0分．
1．sin30°的值是（）
 A．   B．   C．   D． 1

考點(diǎn)： 特殊角的三角函數(shù)值．
分析： 直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．
解答： 解：sin30°= ．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．

2．拋物線y=?（x?2）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）
 A． （?2，3） B． （2，3） C． （2，?3） D． （?2，?3）

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式進(jìn)行解答即可．
解答： 解：∵拋物線的解析式為：y=?（x?2）2+3，
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵．

3．若反比例函數(shù)y= ，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）
 A． k＞?2 B． k＜?2 C． k＞2 D． k＜2

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可．
解答： 解：∵反比例函數(shù)y= ，當(dāng)x＜0時(shí)y隨x的增大而增大，
∴k+2＜0，解得k＜?2．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對(duì)于反比例函數(shù)y= ，當(dāng)k＞0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減��；當(dāng)k＜0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．

4．在4×4網(wǎng)格中，∠α的位置如圖所示，則tanα的值為（）
 
 A．   B．   C． 2 D． 

考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．
專(zhuān)題： 網(wǎng)格型．
分析： 根據(jù)“角的正切值=對(duì)邊÷鄰邊”求解即可．
解答： 解：由圖可得，tanα=2÷1=2．
故選C．
 
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確理解正切值的含義是解決此題的關(guān)鍵．

5．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加下列一個(gè)條件仍不能判斷△ADB與△ABC相似的是（）
 
 A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC

考點(diǎn)： 相似三角形的判定．
分析： 由∠A是公共角，利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可得C與D正確；又由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可得B正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．
解答： 解：∵∠A是公共角，
∴當(dāng)∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時(shí)，△ADB∽△ABC（有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似）；
故A與B正確；
當(dāng) = ，即AB2=AC•AD時(shí)，△ADB∽△ABC（兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）；
故D正確；
當(dāng) = ，即BC2=CD•AC時(shí)，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，
故C錯(cuò)誤．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定．此題難度不大，注意掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似定理的應(yīng)用．

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，則AC的長(zhǎng)是（）
 
 A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
分析： 根據(jù)銳角三角函數(shù)正切等于對(duì)邊比鄰邊，可得BC與AC的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AC的長(zhǎng)．
解答： 解：由tanA= = ，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了銳角三角函數(shù)，利用了銳角三角函數(shù)正切等于對(duì)邊比鄰邊，還利用了勾股定理．

7．反比例函數(shù)y= 的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=x2?kx+k的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象．
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)圖象判斷出k＜0，然后確定出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向以及與y軸的交點(diǎn)，再選擇答案即可．
解答： 解：∵反比例函數(shù)y= 的圖象位于第二四象限，
∴k＜0，
∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，
二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=? = k＜0，
x=0時(shí)，y=k＜0，
所以，二次函數(shù)圖象與y軸的負(fù)半軸相交，
縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖形符合．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，熟練掌握兩函數(shù)圖象的特征并確定出k的取值是解題的關(guān)鍵．

8．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，EF，若四邊形ABCD的面積是40cm2，則△CEF的面積為（）
 
 A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2

考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)．
分析： 如圖，作輔助線；證明AC⊥BD，AO=CO（設(shè)為λ）；證明EF= BD，AO⊥EF；由△ABD∽△AEF，得到 =2，進(jìn)而得到CM=1.5λ；運(yùn)用面積公式即可解決問(wèn)題．
解答： 解：如圖，連接AC，分別交EF、BD于點(diǎn)M、O；
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO（設(shè) 為λ）；
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF∥BD，EF= BD，AO⊥EF；
∴△ABD∽△AEF，
∴ =2，
∴OM= OA=0.5λ，CM=1.5λ，
∴ ，
∵SABCD=40，
∴S△EFC=15（cm2）．
故選C．
 
點(diǎn)評(píng)： 該題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、解答．

9．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為x=1，下列結(jié)論中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2?4ac＞0；④a?b+c＞0．正確的是（）
 
 A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④

考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 由拋物線開(kāi)口方向得到a＜0，由拋物線與y軸交點(diǎn)位置得到c＞0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱(chēng)方程可對(duì)②進(jìn)行判斷；由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于x=?1時(shí)函數(shù)值小于0，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．
解答： 解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)位于y軸正半軸，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=? =1，
∴b=?2a，即2a+b=0，所以②正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴b2?4ac＞0，所以③正確；
∵x=?1時(shí)，y＜0，
∴a?b+c＜0，所以④錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi) 口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b2?4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2?4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2?4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．

10．如圖，在等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向 點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB?BC的方向向點(diǎn)C移動(dòng)，若△APQ的面積為S（cm2），則下列最能反映S（cm2）與移動(dòng)時(shí)間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

考點(diǎn)： 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象．
分析： 當(dāng)0≤t≤2和2＜t≤4時(shí)，分別求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分析即可得出結(jié)論．
解答： 解：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S= ，
此函數(shù)拋物線開(kāi)口向上，且函數(shù)圖象為拋物 線右側(cè)的一部分；
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，S= ，
此函數(shù)圖象是直線的一部分，且S隨t的增大而減�。�
所以符合題意的函數(shù)圖象只有C．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖形，分段討論，求出函數(shù)表達(dá)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．請(qǐng)寫(xiě)一個(gè)二次函數(shù)，使它滿足下列條件：
（1）函數(shù)的圖象可由拋物線y=x2平移得到；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大．
你的結(jié)果是y=x2?2x或y=x2?x．

考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專(zhuān)題： 開(kāi)放型．
分析： 可由拋物線y=x2平移得到的拋物線解析式中二次項(xiàng)系數(shù)是1；當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，則對(duì)稱(chēng)軸小于1．
解答： 解：∵函數(shù)的圖象可由拋物線y=x2平移得到，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴該函數(shù)的解析式為y=x2?2x或y=x2?x．
故答案是：y=x2?2x或y=x2?x．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．注意，根據(jù)（2）可以得到對(duì)稱(chēng)軸小于1是解題的難點(diǎn)．

12．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= 圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA，若△OAB的面積為3，則k的值為6．
 

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
分析： 過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S= |k|．
解答： 解：根據(jù)題意可知：S△AOB= |k|=3，
又反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，k＞0，
則k=6．
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識(shí)點(diǎn)是2015屆中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．

13． 如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度i=3：4，壩高BC=4.5m，則坡面AB的長(zhǎng)度為7.5m．
 

考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．
分析： 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過(guò)解直角三角形即可求出斜面AB的長(zhǎng)．
解答： 解：在Rt△ABC中，BC=4.5米，tanA=3：4；
∴AC=BC÷tanA=6米，
∴AB= =7.5米．
故答案為：7.5．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力，熟練運(yùn)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．

14．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點(diǎn)G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點(diǎn)O．設(shè)AB=a，CG=b（a＞b）．下列結(jié)論：①BG⊥DE；② ；③△BCG∽△EFO；④ ． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）
 
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
分析： 延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H由四邊形ABCD、CEFG都是正方形，得到BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，通過(guò)△BCG≌△DCE，可證得①正確；由EF∥CD，證得△DGO∽△DCE，可得 ，而不是 ，②錯(cuò)誤；由∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，得到△BCG∽△EFO，故③正確；根據(jù)△EFO∽△DGO，即可得到結(jié)果（a?b） 2S△EFO=b2S△DGO，故④正確．
解答： 證明：延長(zhǎng)BG交D E于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
 ，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴∠BCG=DHG=90°，
即BG⊥DE，故①正確；
∵EF∥CD，
∴∠GDE=∠FEO，
∵∠F?∠DCE=90°，
∴△DGO∽△DCE，
∴ ，而不是 ，
∴故②錯(cuò)誤；
∵∠F=∠BCD=90°，
∠CBG=∠CDE=∠FEO，
∴△BCG∽△EFO，故③正確；
∵△EFO∽△DGO，
∴ = = ，
∴（a?b）2S△EFO=b2S△DGO，故④正確．
故答案為：①③④．
 
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．計(jì)算：2?2? cos60°?2sin45°+|1? |．

考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專(zhuān)題： 計(jì)算題．
分析： 原式第一項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算，第二、三項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，最后一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．
解答： 解：原式= ? × ?2× + ?1= ? ? + +1=1．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

16．已知拋物線y=?x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： 由拋物線的一般形式可知：a=?1，由對(duì)稱(chēng)軸方程x=? ，可得一個(gè)等式? ①，然后將點(diǎn)（2，?3）代入y=?x2+bx+c即可得到等式?4+2b+c=?3②，然后將①②聯(lián)立方程組解答即可．
解答： 解：根據(jù)題意，得： ，
解得 ，
所求函數(shù)表達(dá)式為y=?x2?2x+5．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握待定系數(shù)法及對(duì)稱(chēng)軸表達(dá)式x=? ．

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，請(qǐng)按要求完成下面的問(wèn)題：
（1）以圖中的點(diǎn)O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來(lái)的兩倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），則位似變化后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（2a，2b）．
 

考點(diǎn)： 作圖-位似變換．
分析： （1）由以圖中的點(diǎn)O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來(lái)的兩倍，可得△A1B1C1的坐標(biāo)，繼而畫(huà)出△A1B1C1；
（2）由（1）可得△A1B1C1與△ABC的位似比為2：1，繼而可求得位似變化后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)．
解答： 解：（1）如圖：

（2）∵以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來(lái)的兩倍，且△ABC內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
∴位似變化后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是：（2a，2b）．
故答案為：（2a，2b）．
 
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了位似圖形的性質(zhì)與位似變換．此題難度不大，注意掌握位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．

18．平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，如圖所示，且OA=a，OC=b．請(qǐng)根據(jù)下列操作，完成后面的問(wèn)題．
【操作】
（1）連接AC，OB相交于點(diǎn)P1，則點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為 a；
（2）過(guò)點(diǎn)P1作P1D⊥x軸于點(diǎn)D，連接BD交AC于點(diǎn)P2，則點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)為 a；
（3）過(guò)點(diǎn)P2作P2E⊥x軸于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)P3，則點(diǎn)P3的縱坐標(biāo)為 a；
…
【問(wèn)題】
（1）過(guò)點(diǎn)P3作P3F⊥x軸于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)P4，直接寫(xiě)出點(diǎn)P4的縱坐標(biāo)；
（2）按照上述操作進(jìn)行下去，猜想點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)是 ．（用含n的代數(shù)式表示）
 

考點(diǎn)： 四邊形綜合題．
分析： 【操作】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠AOC=90°，OA=BC，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，證出P1D是△AOC的中位線，得出P1D= OA= a即可；
（2）由平行線得出△DP1P2∽△BCP2，得出對(duì)應(yīng)邊成比例 = ，求出P2E即可；
（3）同（2），即可得出結(jié)果；
【問(wèn)題】（1）由【操作】（1）（2）（3）得出規(guī)律，即可得出結(jié)果；
（2）由以上得出規(guī)律，即可得出結(jié)果．
解答： 解：【操作】（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，OA=BC=a，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，
∵P1D⊥x軸，
∴P1D∥AO，
∴P1D是△AOC的中位線，
∴P1D= OA= a，
∴點(diǎn)P1的縱坐標(biāo)為 a；
故答案為： a；
（2）∵P1D∥OA，OA∥BC，
∴P1D∥BC，
∴△DP1P2∽△BCP2，
∴ = ，
∵P1D⊥x軸，P2E⊥x軸，
∴P2E∥P1 D，
∴ = ，
∴P2E= × a= a，
∴點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)為 a；
故答案為： a；
（3）同（2）可得：點(diǎn)P3的縱坐標(biāo)為 a；
故答案為： a；
【問(wèn)題】（1）由：【操作】（1）（2）（3）得出規(guī)律，點(diǎn)P4的縱坐標(biāo)為 a；
（2）由以上得出規(guī)律：點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)是 ；
故答案為： ．
點(diǎn)評(píng)： 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)；本題有一定難度，綜合性強(qiáng)，需要運(yùn)用三角形中位線定理和三角形相似才能得出結(jié)果，得出規(guī)律．

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，AB、CD為兩個(gè)建筑物，建筑物AB的高度為80m，從建筑物AB的頂部A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂部C點(diǎn)的俯角∠EAC為30°，測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角∠EAD為69°．
（1）求兩建筑物兩底部之間的水平距離BD的長(zhǎng)度（精確到1m）；
（參考數(shù)據(jù)：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
 

考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．
分析： （1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADB=69°，再由tan69°= 即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACF=30°，由tan30°= 得出AF的長(zhǎng)，故可得出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．
解答： 解：（1）∵AE∥BD，∠EAD=69°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB=69°，
∵tan69°= ，
∴BD= ．
∴BD≈ ≈30（m）；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△ACF中，∠ACF=30°，CF=BD≈30，
∵AF∥CF，∠EAC=30°，
∴∠ACF=30°．
∵tan30°= ，
∴AF=CF•tan30°=30× ，
∴CD=BF=80?10 （m）．
 
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

20．如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）揚(yáng)揚(yáng)發(fā)現(xiàn)∠ABC=2∠ABD，于是她推測(cè)：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推測(cè)正確嗎？請(qǐng)通過(guò)本題圖形中的數(shù)據(jù)予以說(shuō)明．
 

考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，△ABO是直角三角形，再利用勾股定理可得到AB=5，再利用正弦的定義即可求得sin∠ABD的值；
（2）作AE⊥BC，構(gòu)筑直角三角形ABE，利用平行四邊形的面積求得AE的長(zhǎng)度，再在直角三角形ABE中，利用正弦的定義即可求得sin∠ABC，從而可證sin∠ABC與2sin∠ABD不相等．
解答： 解：（1）設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，
則AO⊥BO，AO=3，BO=4，
根據(jù)勾股定理得 ，
∴sin∠ABD= ．
（2）不正確．
理由：如圖，作AE⊥BC，垂足為E，菱形ABCD的面積= ，
即 ，
得 ，
所以 ．
由（1）得sin∠ABD= ，
∴2sin∠ABD=2× = ≠sin∠ABC，
即揚(yáng)揚(yáng)的推測(cè)不正確．
 
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查菱形的性質(zhì)，面積公式及銳角三角函數(shù)中正弦的定義，掌握好菱形的性質(zhì)和正弦定義是解題的關(guān)鍵．

六、（本題滿分12分）
21．如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點(diǎn)A（3，2）和B（?1，n）．
（1）試確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△OAB的面積S；
（3）結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出函數(shù)值 ＜ax+b時(shí)，自變量x的取值范圍．
 

考點(diǎn)： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．
專(zhuān)題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： （1）把點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y= 就可求出反比例函數(shù)表達(dá)式，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式，就可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax+b，就可求出一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)一次函數(shù)y=2x?4的圖象與y軸交點(diǎn)為C，運(yùn)用割補(bǔ)法將S△OAB轉(zhuǎn)化為S△OAC+S△OBC，只需求出OC長(zhǎng)就可解決問(wèn)題；
（3）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合圖象就可解決問(wèn)題．
解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（3，2）在y= 的圖象上，∴2= ，
解得：k=6，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y= ；
∵點(diǎn)B（?1，n）在y= 的圖象上，
∴n= =?6，
根據(jù)題意，得
 ，
解得： ，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x?4；

（2）設(shè)一次函數(shù)y=2x?4的圖象與y軸交點(diǎn)為C，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0?4=?4，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，?4），
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC= ×4×3+ ×4×1=8；
∴△OAB的面積為8；

（3）結(jié)合圖象可得：當(dāng)?1＜x＜0或x＞3時(shí)，函數(shù)值 ＜ax+b．
 
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是有關(guān)反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，用到待定系數(shù)法、割補(bǔ)法等重要的數(shù)學(xué)方法，還用到數(shù)形結(jié)合的思想，突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，是一道好題．

七、（本題滿分12分）
22．“宿松家樂(lè)福超市”以每件20元的價(jià)格進(jìn)購(gòu)一批商品，試銷(xiāo)一階段后發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖：
（1）求每天銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若該商品每天的利潤(rùn)為w（元），試確定w（元）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式，并求售價(jià)x為多少時(shí)，每天的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少？
 

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）分別利用當(dāng)20≤x≤40時(shí)，設(shè)y=ax+b，當(dāng)40＜x≤ 60時(shí)，設(shè)y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用（1）中所求進(jìn)而得出w（元）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)最值．
解答： 解：（1）分兩種情況：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，設(shè)y=ax+b，
根據(jù)題意，得 ，
解得 ，
故y=x+20；
當(dāng)40＜x≤60時(shí)，設(shè)y=mx+n，
根據(jù)題意，得 ，
解得 ，故
y=?2x+140；
故每天銷(xiāo)售量y（件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)表達(dá)式是：
y= ．

（2）w= ，
當(dāng)20≤x≤40時(shí)，w=x2?400，
由于1＞0拋物線開(kāi)口向上，且x＞0時(shí)w隨x的增大而增大，又20≤x≤40，
因此當(dāng)x=40時(shí)，w最大值=402?400=1200；
當(dāng)40＜x≤60時(shí)，w=?2x2+180x?2800=?2（x?45）2+1250，
由于?2＜0，拋物線開(kāi)口向下，又40＜x≤60，
所以當(dāng)x=45時(shí)，w最大值=1250．
綜上所述，當(dāng)當(dāng)x=45時(shí)，w最大值=1250．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，利用分段函數(shù)求出是解題關(guān)鍵．

八、（本題滿分14分）
23．如圖①在四 邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A．B重合），分別連接ED．EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．
【試題再現(xiàn)】如圖②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角頂點(diǎn)C在直線DE上，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E．求證：△ADC∽△CEB．
【問(wèn)題探究】在圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點(diǎn)E是否四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
【深入探究】如圖③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作AB⊥AD于點(diǎn)A，交BC于點(diǎn)B．
（1）請(qǐng)證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)；
（2）若AD=3，BC=5，試求AB的長(zhǎng)；
 

考點(diǎn)： 相似形綜合題．
分析： 【試題再現(xiàn)】根據(jù)已知條件證得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到△ADC∽△CEB．
【問(wèn)題探究】點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根據(jù)∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出△ADE∽△BEC，同時(shí)得到結(jié)論；
【深入探究】（1）根據(jù)AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，即點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出△ADP≌△EDP，得到AD=DE，同理△CBP≌△CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在Rt△CDF中，CF=BC?BF=BC?AD=5?3=2，由勾股定理，得DF= ，即可得到結(jié)論．
解答： 解答：【試題再現(xiàn)】
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC∽△CEB．

【問(wèn)題探究】點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．
理由如下：
∵∠DEC=40°，
∴∠DEA+∠ CEB=140°；
∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴E點(diǎn)是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．

【深入探究】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，
∵DA⊥AB，
∴CB⊥AB，
∴∠DPC=∠A=∠B=90°，
∵∠ADP=∠CDP，
∴△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，
∴△ADP∽△PDC∽△BPC，即點(diǎn)P是四邊形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB，
在△ADP與△EDP中，
∴△ADP≌△EDP，
∴AD=DE，
同理△CBP≌△CEP，
∴BC=EC，
∴DC=AD+BC=8．
在Rt△CDF中，CF=BC?BF=BC?AD=5?3=2，
由勾股定理，得DF= ，
∴AB=2 ．
 
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似形綜合題，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，矩形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解四邊形邊上的相似點(diǎn)與強(qiáng)相似點(diǎn)的定義并根據(jù)圖形確定出相似三角形，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．