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一個(gè)人的邏輯思維能力并不是一下就能培養(yǎng)和發(fā)展起來的，它需要有一個(gè)長(zhǎng)期的訓(xùn)練過程。不過，總體來說，邏輯思維能力的培養(yǎng)要從激發(fā)一個(gè)人的思維動(dòng)機(jī)，理清一個(gè)人的思維脈絡(luò)，培養(yǎng)正確的思維方法幾個(gè)方面逐步做起。
　　人的思維是有動(dòng)機(jī)的，當(dāng)你有某方面的動(dòng)機(jī)時(shí)，你的思維才會(huì)得到開發(fā)和運(yùn)用。因此，激發(fā)思維的動(dòng)機(jī)，以產(chǎn)生行為活動(dòng)的內(nèi)動(dòng)力，是培養(yǎng)一個(gè)人思維能力的關(guān)鍵因素。認(rèn)知心理學(xué)家指出：“思維能力的發(fā)展是寓于知識(shí)發(fā)展之中的。”所以，對(duì)于每一個(gè)問題，我們既要考慮它原有的知識(shí)基礎(chǔ)，又要考慮它下聯(lián)的知識(shí)內(nèi)容。只有這樣，我們才能更好地激發(fā)思維，并逐步形成知識(shí)脈絡(luò)。實(shí)際上，提高邏輯思維能力的關(guān)鍵就在于要使思維脈絡(luò)清晰化，思維脈絡(luò)的重點(diǎn)理清了，一切問題也就迎刃而解了。
　　一個(gè)人的思維能力在發(fā)展的過程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“卡殼”的現(xiàn)象，會(huì)發(fā)生一些轉(zhuǎn)折，這就是思維的障礙點(diǎn)。思維在遇到障礙點(diǎn)時(shí)，就意味著你應(yīng)學(xué)會(huì)適時(shí)地加以疏導(dǎo)、點(diǎn)撥，促使思維轉(zhuǎn)過來，并以此為契機(jī)促進(jìn)思維發(fā)展。比如，在解決問題時(shí)，我們常常需要把面對(duì)的問題通過轉(zhuǎn)化、分析、綜合、假設(shè)等變化成已解決過的問題。那么在這個(gè)思維的過程中，我們就需要依據(jù)具體情況恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分析與綜合、具體與抽象、求同與求異、一般與特殊等思維方法。通過這些思維方法的運(yùn)用，我們邏輯思維能力通常都會(huì)有較大的突破。
　　比如，當(dāng)我們?cè)趯?duì)事物進(jìn)行分析與綜合的時(shí)候，我們的思維就會(huì)通過分析、綜合把已經(jīng)認(rèn)識(shí)到的事物之間的聯(lián)系在認(rèn)識(shí)中分解開來，并把原來還沒有認(rèn)識(shí)到的事物之間的聯(lián)系在認(rèn)識(shí)中建立起來。恰當(dāng)?shù)夭捎梅治龌蚓C合的思維方法，有利于溝通條件與問題的聯(lián)系，建立起清晰的思維脈絡(luò)。因此，當(dāng)我們?cè)诜治鼍唧w問題的時(shí)候如果能將分析與綜合結(jié)合起來，將有助于思維能力的提高。
　　這個(gè)世界上的任何事物之間都存在著差別，但同時(shí)又有著千絲萬縷的聯(lián)系。通過類比、歸納、演繹，對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較，不但構(gòu)建了完整的知識(shí)體系，而且也發(fā)展了多極化的思維方法，從而就能夠有效地促進(jìn)思維的發(fā)展，克服思維定勢(shì)。此外，任何事物之間都存在著共性與個(gè)性。通過思維引導(dǎo)感知一般與特殊的關(guān)系，就可以幫助自己樹立具體問題具體分析的思維方式，培養(yǎng)自己靈活處理實(shí)際問題的能力。
　　綜上所述，本著這樣一種理念，運(yùn)用各種方法，如分析法、觀察法、類比法、歸納法、演繹法、遞推法、倒推法、綜合法等，有目的、有計(jì)劃地訓(xùn)練人們的邏輯思維能力。相信，通過思維訓(xùn)練，你的邏輯思維能力和整體素質(zhì)都會(huì)有一個(gè)質(zhì)的飛越！

第一講 口算訓(xùn)練
例：1/3+1/11= 1/3-1/11=
解析：先讓學(xué)生觀察，找出算式的共同特點(diǎn)：兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母互質(zhì)。獨(dú)立計(jì)算找出規(guī)律。當(dāng)兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1而分母互質(zhì)時(shí)，兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（減），和（差）的分母是兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的積，分子是兩個(gè)分母的和（差）。
練一練：
1/2+1/7= 1/4+1/9= 1/5+1/8= 1/3+1/4=
1/2-1/7= 1/4-1/9= 1/5-1/8= 1/3-1/4=

1/6+1/8= 1/2+1/8= 1/3+1/8= 1/3+1/7=
1/6-1/8= 1/2-1/8= 1/3-1/8= 1/3-1/7=

1/6+1/9= 1/4+1/8= 1/2+1/8= 1/6+1/7=
1/6-1/9= 1/4-1/8= 1/2-1/8= 1/6-1/7=
引深練習(xí)：
1/6+2/9= 3/4+1/8= 1/2+3/8= 1/6+3/7=
1/6-2/9= 3/4-1/8= 3/8-1/2= 3/7-1/6=
（交叉相乘再加減）

第二講 簡(jiǎn)算訓(xùn)練
例：2/3+1/6=1/6+
3/8+7/10+3/10= +( 7/10+3/10 )
5/12-5/24-3/24=5/12-( 5/24 3/24 )
7/9+6/11+2/9+3/11=( + )+( + )
解析：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)加的運(yùn)算在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中同樣適用。
用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：
2/3+7/10+1/3 5/9+8/15+1/15+4/9 6-5/13-8/13

22/7×2/3+1/3×22/7 2/3×1/7×7 89×5/88

5×1/3+5×7/12 1/8×3/5×8/13×2/3 3/9×8+3/9

（18+3/5）×7/9 （1/9+1/6）×36 （1/8+1/4）×8/7
第三講 數(shù)列中的規(guī)律
例：找規(guī)律填數(shù)：1/2，3/8，9/32，（ ），81/512……
解析：找規(guī)律填數(shù)類題目可以從四種運(yùn)算來考慮，即加、減、乘、除。此題是一個(gè)分?jǐn)?shù)的變化，我們可以分別觀察分子和分母的變化，也可以觀察整個(gè)分?jǐn)?shù)的變化。這題中分子的變化是后一個(gè)是前一個(gè)數(shù)的3倍，分母的變化是后一個(gè)是前一個(gè)數(shù)的4倍�？梢园催@個(gè)規(guī)律來填數(shù)，也可以由上得到整個(gè)分?jǐn)?shù)觀察的規(guī)律是后一個(gè)是前一個(gè)數(shù)的3/4，也可按此規(guī)律來填。
練一練：
一、找規(guī)律填數(shù)
1、2/3，4/9，8/27，（ ），（ ）……
2、1/4，3/20，9/100，（ ），（ ）……
3、3/4，3/8，3/16，（ ），（ ）……
4、81/128，27/64，9/32，（ ），（ ）……
5、1/2，27/64，9/32，（ ），（ ）……
二、找規(guī)律填數(shù)
（1）、33、28、23、（ ）、13、（ ）、3
（2）、3、6、12、（ ）、24、48、（ ）、192
（3）、19、3、17、3、15、3、（ ）、（ ）、11、3
（4）、3、2、5、27、2、（ ）、（ ）、77、2
（5）、81、64、49、36、（ ）、16、（ ）、4、1、0
（6）、6、5、10、9、14、13、（）、（）
（7）、3、29、4、28、6、26、9、23、（）、（）、18、14
（8）、（65、2）、（55、4、）、（45、8）、（35、 ）

第四講 數(shù)小正方體的個(gè)數(shù)
例：一個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的正方體外面涂上紅色油漆，鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，一共可鋸成（ ）塊，其中三面是紅色的有（ ）塊，兩面紅色的有（ ）塊，一面紅色的有（ ）塊，一面也沒有紅色的是（ ）塊。
解析：解答這個(gè)題目的知識(shí)點(diǎn)與正方體的特點(diǎn)有關(guān)。每個(gè)正方體有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)，我們就從這些知識(shí)入手。三面有紅色的小正方體處在什么位置呢，就是正方體的8個(gè)頂點(diǎn)位置，所以無論大正方體的棱長(zhǎng)是多少，都只有8塊小正方體處在頂點(diǎn)位置，所以三面有紅色的塊數(shù)都是8。兩面有紅色的小正方體處的位置則是在棱上，只要觀察一條棱的情況就可以了。每條棱上有三塊，而有兩塊也處在頂點(diǎn)位置，因此只有一塊是兩面有紅色了。所以兩面有紅色的塊數(shù)是1乘12得12塊。如果棱長(zhǎng)是其它數(shù)，則只要用棱長(zhǎng)數(shù)減掉2的得數(shù)乘12條棱即可。一面有紅色的小正方體處在每個(gè)面上，用這個(gè)面上共有的正方形數(shù)減去處在頂點(diǎn)位置和棱上位置的小正方形個(gè)數(shù)，得到的就是這個(gè)面上有一面是紅色的小正方體的塊數(shù)，再乘6即可。本題一個(gè)面上共有9個(gè)小正方形，頂點(diǎn)處占4個(gè)，棱上占4個(gè)，所以只有一個(gè)了。這題中一面有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)是6。一個(gè)面也沒有紅色的小正方體個(gè)數(shù)，只要用總塊數(shù)減去上面三種的數(shù)就可以了。27-8-12-6=1。
練一練：
1、一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的正方體外面涂上紅色油漆，鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，一共可鋸成（ ）塊，其中三面是紅色的有（ ）塊，兩面紅色的有（ ）塊，一面紅色的有（ ）塊，一面也沒有紅色的是（ ）塊。
2、一個(gè)棱長(zhǎng)是5厘米的正方體外面涂上紅色油漆，鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，一共可鋸成（ ）塊，其中三面是紅色的有（ ）塊，兩面紅色的有（ ）塊，一面紅色的有（ ）塊，一面也沒有紅色的是（ ）塊。
3、一個(gè)棱長(zhǎng)是6厘米的正方體外面涂上紅色油漆，鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，一共可鋸成（ ）塊，其中三面是紅色的有（ ）塊，兩面紅色的有（ ）塊，一面紅色的有（ ）塊，一面也沒有紅色的是（ ）塊。

第五講 立體圖形小趣問
例：你能很快做出正確的選擇嗎？
把一個(gè)長(zhǎng)6厘米，寬4厘米，高5厘米的長(zhǎng)方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，下圖中哪種切法增加的表面積大？

解析：
先讓生在圖上標(biāo)明3個(gè)數(shù)據(jù)，從而得到第一種增加的是兩個(gè)6×5，第二種增加的是兩個(gè)6×4，第三種增加的是兩個(gè)4×5，經(jīng)過計(jì)算就可以得出哪種增加的面積大了。
練一練：
1、將兩個(gè)長(zhǎng)10厘米，寬8厘米，厚4厘米的長(zhǎng)方體木塊粘合在一起，成為一個(gè)大的長(zhǎng)方體，為了使這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積盡可能的小，想想方木該怎樣粘，試求這個(gè)長(zhǎng)方體最小的表面積。
2、一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)側(cè)面的面積分別是24、40、60平方厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。

3、下圖是一個(gè)各面上依次標(biāo)有1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字的正方體的三種不同的擺法，問：這三種擺法左面上的數(shù)字和是多少？
 

4、做一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋金魚缸，側(cè)面四塊用玻璃，其中兩塊如下圖（單位：厘米）底面用塑料板，你能求出塑料板的面積是多少嗎？那么做這個(gè)金魚缸用多少玻璃？
60 30 20
20
5、測(cè)得一個(gè)磁帶盒的長(zhǎng)是14厘米，寬11厘米，厚3厘米，現(xiàn)有4盒，用兩種方式包裝（如圖）

甲 乙

（1）計(jì)算甲的體積
（2）按甲乙兩種擺放的方式包裝，哪種方式更節(jié)約包裝紙，節(jié)約多少？6、下面各圖形中，第（ ）個(gè)與眾不同。
 

7、仔細(xì)觀察下面的排列規(guī)律，把第三幅圖畫下來。

8、請(qǐng)畫出第三幅圖。

9、一筆畫出各個(gè)圖形

10、下面是一個(gè)大型花園的道路平面圖，要使游客不重復(fù)地走遍每條路，公園的出入口應(yīng)設(shè)在哪？

11、把一個(gè)長(zhǎng)6厘米，寬4厘米，高5厘米的長(zhǎng)方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，下圖中哪種切法增加的表面積大？
12、一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)側(cè)面的面積分別是24、40、60平方厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。


第六講 巧填分?jǐn)?shù)（一）
例：有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子加上2后得到的分?jǐn)?shù)是1/2，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ）。
解析：把最后的分?jǐn)?shù)1/2，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行變化，得到2/4，3/6，4/8，5/10……就可以找到很多適合這題的答案了。
練一練：
1、有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子加上3后得到的分?jǐn)?shù)是3/4，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ）。
2、有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子加上5后得到的分?jǐn)?shù)是1/2，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ）。
3、有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子加上2后得到的分?jǐn)?shù)是1/4，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ）。
巧填分?jǐn)?shù)（二）
例：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是42，分子和分母各加上3后得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是5/7，原來的分?jǐn)?shù)是（ ）
解析：原來分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是42，現(xiàn)在分子和分母各加上3，那么現(xiàn)在的分子與分母之和是48。48是5與7之和的4倍，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可得：現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)是20/28，分子和分母各減去3后的分?jǐn)?shù)是17/25，就是題目的答案了。
練一練：
1、一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是18，分子和分母各加上5后得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是3/4，原來的分?jǐn)?shù)是（ ）
2、一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是25，分子和分母各加上7后得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是5/8，原來的分?jǐn)?shù)是（ ）
3、一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和是24，分子和分母各加上5后得到的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是8/9，原來的分?jǐn)?shù)是（ ）
4、一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子、分母的和是43。如果分子分母都加上3，所得的分?jǐn)?shù)約分后是1、6 ，原來的分?jǐn)?shù)是? ?。

第七講 實(shí)踐與應(yīng)用
例：冬冬買了一杯果汁，喝了半杯后，加滿水又喝了半杯，再加滿水后又喝了半杯，又加滿后水喝完了。冬冬喝的水多還是果汁多？
解析：此題中有變化量水和不變量果汁兩種。果汁是一杯，水是變化量第一次是半杯，第二次是半杯，一共相當(dāng)于，所以水和果汁同樣多。
練一練：
1、小明準(zhǔn)備了一杯牛奶，喝了半杯后，加滿水又喝了1/3杯，再加滿水后又喝了1/6杯，又加滿后水后全喝完了。小明喝的水多還是牛奶多？
2、兩筐蘋果，第一筐重30千克，如果將第二筐放入12 千克，則兩筐蘋果重量相等，兩筐蘋果一共重多少千克？
3、有兩筐蘋果，第一筐重30千克，如果從第一筐中取出12 千克放入第二筐，則兩筐蘋果重量相等，兩筐蘋果一共重多少千克？
4、已知等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為360米，甲從A點(diǎn)出發(fā)按逆時(shí)針方向前進(jìn)，每分鐘走55米，乙從BC邊上出發(fā)，按順時(shí)針方向前進(jìn)，每分鐘走50米，兩人同時(shí)出發(fā)，幾分鐘相遇？
C乙
第八講 和倍問題
例：數(shù)學(xué)小組比美術(shù)小組多5人，科技小組的人數(shù)是數(shù)學(xué)與美術(shù)小組人數(shù)和的2倍，比數(shù)學(xué)與美術(shù)小組人數(shù)的和多15人。這三個(gè)興趣小組共有多少人？
解析：因?yàn)榭萍夹〗M的人數(shù)是數(shù)學(xué)與美術(shù)小組人數(shù)和的2倍，比數(shù)學(xué)與美術(shù)小組人數(shù)的和多15人，所以數(shù)學(xué)與美術(shù)小組一共有15÷（2－1）＝15人，科技小組有15×2＝30人。又因?yàn)槊佬g(shù)小組和數(shù)學(xué)小組一共有15人，數(shù)學(xué)小組比美術(shù)小組多5人，所以，美術(shù)小組有（15－5）÷2＝5人，數(shù)學(xué)小組有15－5＝10人。
練一練：
1、有大、中、小三筐蘋果，中筐比小筐多裝4千克，大筐裝的是小筐與中筐和的3倍，比中筐和小筐多24千克。大、中、小三個(gè)筐各裝蘋果多少千克？
2、有大、中、小三筐蘋果，小筐裝的是中筐的一半，中筐比大筐少16千克，大筐裝的是小筐的4倍。問三筐蘋果共重多少千克？
3、某市舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有68人獲獎(jiǎng)。得二等獎(jiǎng)的人數(shù)比得一等獎(jiǎng)人數(shù)的2倍少4人，得三等獎(jiǎng)的人數(shù)比得二等獎(jiǎng)人數(shù)的3倍少6人。得一、二、三等獎(jiǎng)的各有多少人？
4、年齡和是64歲，兒子年齡的3倍比父親年齡多8歲，今年父親和兒子各是多少歲？
5、數(shù)乘綿羊數(shù)，再把所得數(shù)放到鏡子前一照，正好是山羊同綿羊的總數(shù)，請(qǐng)問幾只山羊？幾只綿羊？
6、堆水泥，第一堆有87袋，第二堆有69袋，那么從第一堆拿多少袋到第二堆，就能使第二堆的水泥是第一堆的3倍?
7、一根繩子，長(zhǎng)的是短的的3倍，兩根各剪掉10厘米，長(zhǎng)的是短的的5倍，請(qǐng)問兩根繩子原來各有多長(zhǎng)？

第九講 植樹問題及間隔的應(yīng)用（兩課時(shí)）
例.從公園通往湖心的小島有一條長(zhǎng)900米的小路，在小路的兩側(cè)，從頭到尾每隔15米栽1棵樹，需要多少棵數(shù)？
解析：典型的植樹問題，而且是不封閉線路，總長(zhǎng)為900米，間隔是15米，所以段數(shù)=900÷15=60，這個(gè)時(shí)候注意，題目說的是從頭到尾都栽樹，所以小路一側(cè)的樹為60＋1=61，兩側(cè)就是61×2=122棵
課堂練習(xí)題：
有一條公路長(zhǎng)900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？
例2.有12名小學(xué)生站成一排，要求在每?jī)擅�小學(xué)生中間放2盆花，需要擺放幾盆？
解析：如果把每2名小學(xué)生開成1段的話，那么12名小學(xué)生一共有11個(gè)間隔，也就是說可以看成11段，每一段放2盆花，就應(yīng)該放2×11=22盆花
課堂練習(xí)題：
1.一段長(zhǎng)200厘米的木條，要鋸成10厘米長(zhǎng)的小段，需要鋸幾次？
2.螞蟻爬樹枝，每上一節(jié)需要10秒鐘，問從第1節(jié)爬到第13節(jié)需要多少分鐘？
例3.某城市舉行馬拉松長(zhǎng)跑比賽，從體育館出發(fā)，最后再回到體育館，全長(zhǎng)42千米，沿途等距離設(shè)茶水站7個(gè)，求每?jī)蓚�(gè)相鄰的茶水站的距離？
解析：這是一個(gè)全封閉路線上的間隔問題，總線長(zhǎng)42千米，共設(shè)7個(gè)茶水站，因此總線長(zhǎng)分為7段，也就是段數(shù)為7段，要求每?jī)蓚�(gè)相鄰的茶水站之間的距離也即是間隔距離，可以計(jì)算得出：42÷7=6千米
課堂練習(xí)題：
1．一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是150米，每隔3米栽種一棵樹。問：共需樹苗多少株？
2. 有一正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四個(gè)角各種1棵，共種樹多少棵？
例4.馬路的一邊，每隔8米一棵樹，小明乘汽車從學(xué)校回家，從看到第1棵樹起到第153棵樹止共花了4分鐘，而且小明從學(xué)校到家共坐了半小時(shí)的汽車。問小明的家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？
解析：題目綜合了“植樹（間隔）問題”和“行程問題”，要求出路程，必須知道速度和時(shí)間，時(shí)間是半小時(shí)也就是30分鐘，關(guān)鍵就是要知道速度了，根據(jù)題目的描述，本題屬于非封閉線路上的間隔（植樹）問題。段數(shù)=樹數(shù)－1=153－1=152，汽車4分鐘走的路程就是152×8=1216米，每分鐘走的路程也就是速度為1216÷4=304米/分。小明家到學(xué)校的距離為304×30=9120米
課堂練習(xí)題：
在一條路上按相等的距離植樹。甲乙二人同時(shí)從路的一端的某一棵樹出發(fā)。當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第二十二棵樹時(shí)，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第十棵樹。已知乙每分鐘走36米。問：甲每分鐘走多少米？
例5.村莊周圍栽樹，要求每隔15米栽1棵楊樹，而且每2棵楊樹中間等距離栽2棵柳樹。已知村莊周長(zhǎng)為4500米。問需要多少棵楊樹？多少棵柳樹？相鄰2棵柳樹之間的間距是多少米？
解析：在村莊周圍栽樹屬于封閉線路，所以楊樹棵樹=段數(shù)=4500÷15=300，又因?yàn)槊?棵楊樹中間等距離栽2棵柳樹，所以柳樹數(shù)為300×2=600棵。再求2棵柳樹之間的間距。因?yàn)?棵楊樹間等距離栽2棵柳樹，所以這2棵柳樹的間距為15÷（2＋1）=5米；而在1棵楊樹兩邊的柳樹間距為5×2=10米
課堂練習(xí)題：
1.一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米。每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花。問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录鹃g的株距是多少？
2.一個(gè)圓形花圃周長(zhǎng)30米。在周圍每隔3米插1面紅旗，每2面紅旗中間插1面藍(lán)旗�；ㄆ灾車�各插了多少面紅旗與藍(lán)旗？
例6.大人上樓的速度是小孩的2倍，小孩從一樓到四樓要6分鐘，問大人從一樓到六樓需要幾分鐘？
解析：題目屬于非封閉路線上的間隔（植樹）問題，先可以求出小孩上樓的速度，從一樓到四樓可分為3段，小孩用了6分鐘走完了3段，所以每段要2分鐘，大人上樓的速度是小孩的2倍，所以大人每走1段要1分鐘，從一樓到六樓有5段，所以需要5分鐘。
課堂練習(xí)題：
1.小明從一樓到五樓需要4分鐘。小芳的速度是小明的一半，問小芳從一樓到四樓需要多少時(shí)間？
2.每層樓有12級(jí)臺(tái)階，小華從底樓爬到七樓，一共爬了多少級(jí)臺(tái)階？
練一練：
1.在花圃的周圍放上菊花，每隔1米放1盆�；ㄆ灾車�共20米長(zhǎng)，需要多少盆菊花？
2.從發(fā)電廠到鬧市區(qū)一共有250根電線桿，每相鄰兩根電線桿之間是30米，問從發(fā)電廠到鬧市區(qū)有多遠(yuǎn)？
3.小明在剪一根長(zhǎng)22米的繩子，共剪10次，剪成許多一樣長(zhǎng)的短繩子。問每根繩子長(zhǎng)多少？
4.甲村到乙村原計(jì)劃栽樹175棵，相鄰兩棵樹距離8米，后決定栽樹117棵，問相鄰兩棵樹應(yīng)相距多遠(yuǎn)？
5.兩棵樹相隔115米，在中間等距離增加22棵樹后，第16棵與第1棵相隔多少米？
6.公園的周長(zhǎng)為8040米，在公園的周圍栽樹綠化，每隔8米栽垂柳1棵，然后在相鄰兩棵垂柳之間每隔2米栽海棠樹1棵。應(yīng)準(zhǔn)備垂柳和海棠各多少棵？
7.公路的一邊每隔8米栽1棵梧桐樹，小軍騎自行車5分鐘共看到樹251棵。問小軍每分鐘騎多少米？
8.甲乙兩地相距84千米，為了支援春播，沿途等距離設(shè)立茶水站43個(gè)，求每個(gè)茶水站之間的距離？
9.從郊區(qū)到市區(qū)相距60千米，沿公路兩旁植樹，棵距20米，需要樹多少棵？若棵距15米，又需要多少棵？
10.運(yùn)動(dòng)員參加越野賽跑，假設(shè)他的速度不變，從第一個(gè)茶水站到第三個(gè)茶水站，共花了50分鐘。已知從起點(diǎn)到重點(diǎn)每?jī)蓚�(gè)茶水站間隔為5千米，跑完全長(zhǎng)共用了3小時(shí)。問這次越野賽賽程多少千米？
11.某市計(jì)劃在一條長(zhǎng)30千米的馬路上，由起點(diǎn)到終點(diǎn)每隔2千米設(shè)立1個(gè)車站。問不包括起點(diǎn)站與終點(diǎn)站在這條馬路上共有多少個(gè)車站？
12.一個(gè)圓形場(chǎng)地，每隔4米栽1個(gè)標(biāo)志物，共設(shè)置了200個(gè)標(biāo)志物，問：圓形場(chǎng)地周長(zhǎng)是多少米
13.一條小路的兩邊等距離設(shè)置花盆，路長(zhǎng)400米，共設(shè)置了花盆82個(gè)。問相鄰兩花盆間距是多少？
14.一個(gè)木工鋸一條長(zhǎng)13米的木頭，他先把一頭損壞的部分鋸下1米。然后鋸5次，鋸成幾根一樣長(zhǎng)的短木條，求每根短木條長(zhǎng)多少米？
15.一個(gè)人在湖上劃船，從第1個(gè)游標(biāo)劃到第12個(gè)游標(biāo)用了11分鐘，如果這個(gè)人花了25分鐘，那么他應(yīng)該劃到了第幾個(gè)游標(biāo)？
16.小王沿公路等距離種樹，每9棵樹之間的距離是96米，這樣計(jì)算的話，20棵樹之間的距離是多少？
17.小芳家住8樓，她從1樓到8樓需要走112個(gè)臺(tái)階，問每上1層要走多少個(gè)臺(tái)階？
18.甲乙兩人在長(zhǎng)3000米的公路兩旁栽樹。每隔20米栽1棵柳樹，在每相鄰的兩棵柳樹間又栽1棵梧桐。已知甲比乙多栽12棵，問栽得柳樹和梧桐各多少棵？甲乙兩人各栽多少棵？


第十講 比的妙用
例：完成一項(xiàng)工程，A所得報(bào)酬的4/15與B所得報(bào)酬的4/9相等。已知A比B多得報(bào)酬0.8萬元。A和B各得報(bào)酬多少？
解析：由A所得報(bào)酬的4/15與B所得報(bào)酬的4/9相等得到：A×4/15=B×4/9，從而推出：A：B=4/9：4/15=5：3。0.8對(duì)應(yīng)的是(5-3)份,求出每份數(shù)后即可求出A與B各得報(bào)酬是多少了。
練一練：
1、五一班有學(xué)生57名，其中男生的3/5與女生的2/3相等地。男生女生各多少人？
2、一工廠有工人2280人，分三個(gè)車間。甲車間工人占總?cè)藬?shù)的5/12，乙車間人數(shù)的3/5正好等于丙車間人數(shù)的2/3。乙、丙兩車間的人數(shù)各有多少人？
3、以56萬元買入房產(chǎn)兩處，以后甲處房?jī)r(jià)上漲1/5，乙處房?jī)r(jià)低落1/3，這時(shí)兩處房產(chǎn)價(jià)正好相等。求買入時(shí)兩處房產(chǎn)各多少成元？
提高題：有兩筐蘋果，小筐比大筐少31個(gè)，如果從小筐中取7個(gè)放入大筐，那么小筐與一蘋果個(gè)數(shù)的比是5：8。原來大筐有蘋果多少個(gè)？
連比
例：A：B=3；5，B：C=4；3，求A：B：C=（ ）：（ ）：（ ）。
解析：把B作為橋梁，把單比轉(zhuǎn)化為連比。
A B C 5和4的最小公倍數(shù)是20，即B=20
3 ： 5 A=3×4=12
4 ： 3 C=3×5=15
所以，A：B：C=12：20：15
練一練：
1、某日甲、乙、丙三個(gè)柜臺(tái)的營(yíng)業(yè)額共5.5萬元，甲、乙柜臺(tái)營(yíng)業(yè)額之比是2：3，乙丙柜臺(tái)營(yíng)業(yè)額之比是1：2。三個(gè)柜臺(tái)的營(yíng)業(yè)額各多少元？
2、三個(gè)運(yùn)輸隊(duì)合作運(yùn)輸一批貨物，所得運(yùn)費(fèi)按運(yùn)貨量分配。甲、乙隊(duì)運(yùn)貨量之比為4：5，乙、丙隊(duì)運(yùn)貨量之比為2：3。丙隊(duì)比甲隊(duì)多得運(yùn)費(fèi)3500元。甲、乙、丙隊(duì)各得運(yùn)費(fèi)多少元？
3、五年級(jí)一班男生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的3/7 。后來轉(zhuǎn)走兩名學(xué)生，這時(shí)男生人數(shù)與全班人數(shù)的比是2:5.五年級(jí)一班現(xiàn)有男生? ?人。

第十一講 雞兔同籠問題
例：我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》共三卷，成書大約在公元5世紀(jì)。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術(shù)題，比如“雞兔同籠”問題：
今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？
解析：（1）如果先假設(shè)它們?nèi)�是雞，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。
（2）也可以用解方程的方法：設(shè)雞有x只，據(jù)雞兔一共35頭，那兔就是35－x只。然后根據(jù)雞兔一共94只腳，可以列出一個(gè)方程2x+4(35-x)=94。

練一練：
　　1．龜鶴共有100個(gè)頭，350只腳.龜,鶴各多少只 ？
　　2．學(xué)校有象棋，跳棋共26副,恰好可供120個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)行活動(dòng)。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副？
　　3．一些2分和5分的硬幣,共值2.99元，其中2分硬幣個(gè)數(shù)是5分硬幣個(gè)數(shù)的4倍,問5分硬幣有多少個(gè) ？
　　4．某人領(lǐng)得工資240元，有2元,5元，10元三種人民幣,共50張，其中2元與5元的張數(shù)一樣多。那么2元,5元，10元各有多少張？
　　5．一件工程,甲單獨(dú)做12天完成，乙單獨(dú)做18天完成,現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨(dú)做完余下的部分,這樣前后共用了16天.甲先做了多少天 ？
　　6．摩托車賽全程長(zhǎng)281千米，全程被劃分成若干個(gè)階段,每一階段中，有的是由一段上坡路(3 千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千 米)組成的。已知摩托車跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段？
7．用1元錢買4分,8分，1角的郵票共15張,問最多可以買1角的郵票多少張？
8.有一個(gè)飼養(yǎng)小組，養(yǎng)了若干只雞和兔，已知共有35個(gè)頭和94只腳，問這個(gè)飼養(yǎng)小組雞和兔各多少只？
9.有5元和10元的人民幣共43張，共340元，問5元幣和10元幣各多少張？
10.育才小學(xué)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試卷共有15題，每做對(duì)一題得8分，每做錯(cuò)一題倒扣4分，小勇共得72分，他做對(duì)幾題？

第十二講 邏輯推理
例：推理：在班級(jí)里有四名學(xué)生分別在寫字、讀英語、做數(shù)學(xué)和看書。（1）A不在寫字也不在看書；(2)B不在做數(shù)學(xué)也不在寫字；(3)如果A不在做數(shù)學(xué)，那么C不在寫字；（4）D不在看書也不在寫字。請(qǐng)分析，他們各在做什么？
A（ ）B（ ）C（ ）D（ ）
解析：利用畫表格的方式
寫字讀英語做數(shù)學(xué)看書
AXX√X
BXXX√
C√XXX
DX√XX
把符合一、二、四三個(gè)條件的內(nèi)容用X表示，可得出C在寫字和B在看書。根據(jù)第三條件得出：C在寫字，則A在做數(shù)學(xué)。最后可以得出D在讀英語。
練一練：
1、小李、小徐、小張是同學(xué)，大學(xué)畢業(yè)后分別當(dāng)了教師，數(shù)學(xué)家和工程師。
小張年齡比工程師大；
小李和數(shù)學(xué)家不同歲；
數(shù)學(xué)家比小徐年齡小。
想一想誰是教師，誰是數(shù)學(xué)家，誰是工程師？
2、根據(jù)條件，采用列表法解決問題：50個(gè)同學(xué)去劃船，每條大船可以坐6人，租金10元，每條小船可以坐4人，租金8元，如果讓你按排，準(zhǔn)備怎樣租船？（填表完成各種方案，然后根據(jù)租金多少進(jìn)行方案優(yōu)劣排序
3、試一試：
甲、乙、丙三人中有一個(gè)人做了一件好事，到底是誰做的呢，王老師把他們找來詢問情況。他們的回答如下：
甲說：我沒做這件好事，乙也沒有做；
乙說：我沒做這件好事，丙也沒有做；
丙說：我沒做這件好事，我也不知道是誰做的。
他們每人的話中一半是真一半是假，你知道是誰做的好事嗎？
4、張老師、李老師、王老師在一所學(xué)校執(zhí)教，他們各教一門課程，音、體、美，已知張老師不教美術(shù)，王老師不會(huì)畫畫，也不會(huì)唱歌，這三位老師各教什么課程？
5、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上，有四個(gè)班的同學(xué)正在進(jìn)行接力賽，對(duì)于比賽的勝負(fù)，在一旁的小明、小浩、小哲進(jìn)行猜測(cè)：
小明說：我看一班只能得第三名，冠軍肯定是三班；
小浩說：三班只能得第二名，二班是第三名；
小哲說：四班肯定得第二名，一班第一名。
而真正的結(jié)果，他們每人的預(yù)測(cè)只猜對(duì)了一半，請(qǐng)你根據(jù)他們的猜測(cè)推出比賽的結(jié)果。
6、一只乒乓球重8克，一只羽毛球的重量等于4個(gè)乒乓球的重量，一只小皮球的重量等于8個(gè)羽毛球的重量。一只小皮球的重量是多少克？
7、張大媽問甲、乙、丙三個(gè)人的年齡。
甲說：我不是最小的，乙12歲，我和乙差2歲；
乙說：丙是10歲，我比甲小1歲，比乙大1歲；
丙說：我9歲，我比甲小1歲，比乙大1歲。
甲、乙、丙三個(gè)人中每人說的三句話中都有一句假話，請(qǐng)你判斷甲的年齡是多少？乙的年齡是多少？丙的年齡是多少？


第十三講 神奇的一筆畫
例：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個(gè)圖形嗎？試試看。（不走重復(fù)線路）
解析：要正確解答這道題，必須弄清一筆畫圖形有哪些特點(diǎn)。早在18世紀(jì)，瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉就找到了一筆畫的規(guī)律。歐拉認(rèn)為，能一筆畫的圖形必須是連通圖。連通圖就是指一個(gè)圖形各部分總是有邊相連的，這道題中的三個(gè)圖都是連通圖。但是，不是所有的連通圖都可以一筆畫的。能否一筆畫是由圖的奇、偶點(diǎn)的數(shù)目來決定的。什么叫奇、偶點(diǎn)呢？與奇數(shù)（單數(shù)）條邊相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)；與偶數(shù)（雙數(shù)）條邊相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)。如圖1中的①、④為奇點(diǎn)，　
②、③偶點(diǎn)。

數(shù)學(xué)家歐拉找到一筆畫的規(guī)律是什么呢?
1．凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。例如，圖2都是偶點(diǎn)，畫的線路可以是：① ⑤ ⑥ ② ④ ⑤ ③ ①
圖2
2．凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。例如，圖1中的線路是：① ② ③ ① ④
3．其他情況的圖都不能一筆畫出。
練一練：
畫出圖1和圖2的其他線路。
2．圖3能一筆畫嗎？有多少條線路？
3．下圖是國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的會(huì)標(biāo)，能一筆畫嗎？如果能，請(qǐng)你把它畫出來。
 

用剪刀把桌上的正方體紙盒按任意方式沿棱展開，你能得到哪些不同的展開圖？比比哪一小組的展開圖更與眾不同。
要求：1、先自己觀察黑板上的11種正方體的展開圖有沒有什么規(guī)律？
2、再小組討論這些正方體展開圖可以分為幾類？哪幾號(hào)展開圖可以分為一類,為什么?

答案：
第一類，中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，共六種。

第二類，中間三連方，兩側(cè)各有一、二個(gè)，共三種。
 

第三類，中間二連方，兩側(cè)各有二個(gè)，只有一種。

第四類，兩排各三個(gè)，只有一種

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.2rcoc.com/xiaoxue/55371.html

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